Страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

189 Найдите неизвестное число x, если:

а) $ \frac{2x}{9} = \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{1}{5} = \frac{2}{5x}; $

в) $ \frac{1,5}{4x} = \frac{0,3}{10}; $

г) $ \frac{2}{x} = \frac{x}{8}. $

а)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{2x}{9} = \frac{2}{3}$.

Чтобы решить пропорцию, воспользуемся основным свойством пропорции (правило крестного умножения): произведение крайних членов равно произведению средних.

$(2x) \cdot 3 = 9 \cdot 2$

Выполним умножение в обеих частях уравнения:

$6x = 18$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

б)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{1}{5} = \frac{2}{5x}$.

Применим основное свойство пропорции:

$1 \cdot (5x) = 5 \cdot 2$

Выполним умножение:

$5x = 10$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

в)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{1.5}{4x} = \frac{0.3}{10}$.

Применяем правило крестного умножения:

$1.5 \cdot 10 = 4x \cdot 0.3$

Выполняем вычисления в обеих частях:

$15 = 1.2x$

Чтобы найти $x$, разделим 15 на 1.2:

$x = \frac{15}{1.2}$

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{150}{12}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 6:

$x = \frac{150 \div 6}{12 \div 6} = \frac{25}{2}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = 12.5$

Ответ: $x=12.5$.

г)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{2}{x} = \frac{x}{8}$.

Воспользуемся правилом крестного умножения:

$2 \cdot 8 = x \cdot x$

$16 = x^2$

Это уравнение означает, что $x$ — это число, квадрат которого равен 16. Существует два таких числа: положительное и отрицательное.

$x = \sqrt{16}$

$x_1 = 4$

$x_2 = -4$

Оба значения являются решениями уравнения, так как $(-4) \cdot (-4) = 16$ и $4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: $x=4$ или $x=-4$.

190 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ На рисунке 2.9 изображён чертёж фасада дома, выполненный в некотором масштабе. Длина фасада реального дома равна 9 м. Выполните на чертеже необходимые измерения и определите:

а) высоту стен реального дома;

б) высоту дома с учётом крыши.

Рис. 2.9

Для решения этой задачи нужно сначала определить масштаб чертежа, используя известную реальную длину фасада дома. Затем, с помощью этого масштаба, можно будет вычислить реальные размеры высоты стен и общей высоты дома.

1. Определение масштаба чертежа

По условию, реальная длина фасада дома составляет 9 м. Сначала измерим длину фасада на чертеже (Рис. 2.9). Допустим, при измерении линейкой длина фасада на чертеже составила 6 см.

Теперь мы можем найти масштаб. Реальная длина в сантиметрах: $9 \text{ м} = 900 \text{ см}$.

Составим пропорцию, чтобы найти, сколько сантиметров в реальности соответствует 1 см на чертеже:

$\frac{900 \text{ см}}{6 \text{ см}} = 150$

Это означает, что 1 см на чертеже представляет 150 см (или 1,5 м) в реальности. Таким образом, масштаб чертежа 1:150.

а) высоту стен реального дома;

Измерим на чертеже высоту стен (от основания до начала крыши). Допустим, измерение дало результат 3 см.

Теперь вычислим реальную высоту стен, умножив измеренное значение на масштабный коэффициент:

$H_{стен} = 3 \text{ см} \times 150 = 450 \text{ см}$

Переведем результат в метры: $450 \text{ см} = 4,5 \text{ м}$.

Ответ: 4,5 м.

б) высоту дома с учётом крыши.

Измерим на чертеже общую высоту дома (от основания до самой высокой точки крыши). Допустим, измерение дало результат 4,5 см.

Вычислим реальную общую высоту дома, используя тот же масштаб:

$H_{общая} = 4,5 \text{ см} \times 150 = 675 \text{ см}$

Переведем результат в метры: $675 \text{ см} = 6,75 \text{ м}$.

Ответ: 6,75 м.

191 На рисунке 2.10 фигура $A_1B_1C_1D_1E_1$ является копией фигуры $ABCDE$, полученной с помощью копировальной машины, которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз.

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{...}$, $\frac{AB}{BC} = \frac{...}{B_1C_1}$, $\frac{...}{CD} = \frac{D_1E_1}{...}$

Рис. 2.10

а) Найдите неизвестные длины сторон.

Поскольку многоугольник $A_1B_1C_1D_1E_1$ является уменьшенной копией многоугольника $ABCDE$, эти фигуры подобны. Это означает, что отношения длин их соответственных сторон равны. Это отношение называется коэффициентом подобия.

Найдем коэффициент подобия $k$, взяв отношение длин известных соответственных сторон $AE$ и $A_1E_1$: $k = \frac{AE}{A_1E_1} = \frac{2,5 \text{ см}}{1,5 \text{ см}} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$.

Таким образом, любая сторона фигуры $ABCDE$ в $\frac{5}{3}$ раза длиннее соответствующей стороны фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$. Соответственно, любая сторона фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ равна длине соответствующей стороны фигуры $ABCDE$, умноженной на $\frac{3}{5}$.

Вычислим неизвестные длины сторон:

• Длина стороны $BC$ соответствует стороне $B_1C_1 = 1,8$ см. Она находится из отношения $\frac{BC}{B_1C_1} = k$:
  $BC = B_1C_1 \cdot k = 1,8 \cdot \frac{5}{3} = 3$ см.
• Длина стороны $CD$ соответствует стороне $C_1D_1 = 2,4$ см. Она находится из отношения $\frac{CD}{C_1D_1} = k$:
  $CD = C_1D_1 \cdot k = 2,4 \cdot \frac{5}{3} = 4$ см.
• Длина стороны $A_1B_1$ соответствует стороне $AB = 3$ см. Она находится из отношения $\frac{AB}{A_1B_1} = k$:
  $A_1B_1 = \frac{AB}{k} = 3 \div \frac{5}{3} = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$ см.
• Длина стороны $D_1E_1$ соответствует стороне $DE = 2$ см. Она находится из отношения $\frac{DE}{D_1E_1} = k$:
  $D_1E_1 = \frac{DE}{k} = 2 \div \frac{5}{3} = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$ см.

Ответ: $BC = 3$ см, $CD = 4$ см, $A_1B_1 = 1,8$ см, $D_1E_1 = 1,2$ см.

б) Дополните равенства так, чтобы получились пропорции:

Пропорции основываются на том, что отношение соответственных сторон подобных фигур постоянно.

1. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{...}$
   Чтобы равенство было верным, в знаменателе второй дроби должна стоять сторона, соответственная стороне $AE$. Это сторона $A_1E_1$.
   Получаем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{A_1E_1}$.
2. $\frac{AB}{...} = \frac{BC}{B_1C_1}$ (согласно наиболее вероятному прочтению условия на изображении)
   Это основная пропорция подобия. Чтобы равенство было верным, в знаменателе первой дроби должна стоять сторона, соответственная стороне $AB$. Это сторона $A_1B_1$.
   Получаем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
3. $\frac{...}{CD} = \frac{D_1E_1}{...}$
   Здесь отношение составлено как "сторона меньшей фигуры / сторона большей фигуры". Сторона, соответственная $CD$ - это $C_1D_1$. Сторона, соответственная $D_1E_1$ - это $DE$.
   Получаем: $\frac{C_1D_1}{CD} = \frac{D_1E_1}{DE}$.

Ответ: 1) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{A_1E_1}$; 2) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$; 3) $\frac{C_1D_1}{CD} = \frac{D_1E_1}{DE}$.

в) Найдите отношение периметров этих фигур.

Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту их подобия.

Пусть $P$ - периметр фигуры $ABCDE$, а $P_1$ - периметр фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$. Отношение их периметров $\frac{P}{P_1}$ будет равно отношению длин любых двух соответственных сторон.

$\frac{P}{P_1} = k = \frac{AE}{A_1E_1} = \frac{2,5}{1,5} = \frac{5}{3}$.

Для проверки можно вычислить периметры обеих фигур:
$P_{ABCDE} = AB + BC + CD + DE + EA = 3 + 3 + 4 + 2 + 2,5 = 14,5$ см.
$P_{A_1B_1C_1D_1E_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1D_1 + D_1E_1 + E_1A_1 = 1,8 + 1,8 + 2,4 + 1,2 + 1,5 = 8,7$ см.
Их отношение: $\frac{14,5}{8,7} = \frac{145}{87} = \frac{5 \cdot 29}{3 \cdot 29} = \frac{5}{3}$.

Ответ: Отношение периметра фигуры $ABCDE$ к периметру фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ равно $\frac{5}{3}$.