Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Составьте две разные пропорции по условию задачи, как это сделано в примере 2:

«На 10 одинаковых юбок требуется 8 м ткани. Сколько метров этой ткани потребуется на 6 таких же юбок?»

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество метров ткани, необходимое для пошива 6 юбок. Условие задачи описывает прямую пропорциональную зависимость, так как при увеличении количества юбок требуется пропорционально больше ткани.

Составим краткую запись условия:

10 юбок — 8 м ткани

6 юбок — $x$ м ткани

На основе этих данных можно составить и решить две разные пропорции.

Составим пропорцию, приравнивая отношения одноименных величин. Отношение количества юбок в двух случаях равно отношению соответствующего количества ткани.

$\frac{10 \text{ юбок}}{6 \text{ юбок}} = \frac{8 \text{ м}}{x \text{ м}}$

Запишем пропорцию без единиц измерения для удобства вычислений:

$\frac{10}{6} = \frac{8}{x}$

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно перемножить средние члены и разделить на известный крайний член. Это следует из основного свойства пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).

$10 \cdot x = 6 \cdot 8$

$10x = 48$

$x = \frac{48}{10}$

$x = 4.8$

Таким образом, на 6 юбок потребуется 4,8 метра ткани.

Ответ: 4,8 м.

Составим пропорцию, приравнивая отношения разноименных величин. В данном случае, отношение количества юбок к количеству ткани для них — это постоянная величина (показывает, сколько юбок можно сшить из одного метра ткани, или сколько метров ткани идет на одну юбку, в зависимости от того, как составить отношение).

$\frac{10 \text{ юбок}}{8 \text{ м}} = \frac{6 \text{ юбок}}{x \text{ м}}$

Запишем пропорцию без единиц измерения:

$\frac{10}{8} = \frac{6}{x}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:

$10 \cdot x = 8 \cdot 6$

$10x = 48$

$x = \frac{48}{10}$

$x = 4.8$

Этот способ также показывает, что на 6 юбок потребуется 4,8 метра ткани.

Ответ: 4,8 м.

Решите задачу двумя способами, как это сделано в примере 3:

«Конфеты расфасовали в 20 упаковок, 200 г в каждой. Сколько упаковок получится, если это же количество конфет расфасовать в упаковки по 125 г?»

Способ 1

Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти общую массу всех конфет, а затем разделить ее на новую массу одной упаковки.

1. Найдем общую массу конфет. Для этого умножим количество первоначальных упаковок на массу конфет в каждой из них.

$20 \text{ упаковок} \times 200 \text{ г/упаковка} = 4000 \text{ г}$

Таким образом, общая масса всех конфет равна 4000 г.

2. Теперь найдем, сколько упаковок получится, если расфасовать эту массу конфет в упаковки по 125 г. Для этого разделим общую массу на новую массу одной упаковки.

$4000 \text{ г} \div 125 \text{ г/упаковка} = 32 \text{ упаковки}$

Ответ: получится 32 упаковки.

Способ 2

Этот способ основан на понятии обратной пропорциональности. Количество упаковок и масса одной упаковки являются обратно пропорциональными величинами: во сколько раз уменьшается масса одной упаковки, во столько же раз увеличивается их количество (при неизменной общей массе).

1. Найдем, во сколько раз новая масса упаковки (125 г) меньше старой (200 г).

$200 \text{ г} \div 125 \text{ г} = \frac{200}{125} = \frac{8 \times 25}{5 \times 25} = \frac{8}{5} = 1.6$

Новая упаковка в 1.6 раза легче старой.

2. Так как масса одной упаковки уменьшилась в 1.6 раза, количество упаковок должно увеличиться во столько же раз. Умножим первоначальное количество упаковок на этот коэффициент.

$20 \text{ упаковок} \times 1.6 = 32 \text{ упаковки}$

Или, используя обыкновенные дроби:

$20 \times \frac{8}{5} = \frac{20 \times 8}{5} = \frac{160}{5} = 32 \text{ упаковки}$

Ответ: получится 32 упаковки.

177 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Проверьте двумя способами, является ли пропорцией следующее равенство:

а) $$\frac{14}{70} = \frac{25}{125};$$

б) $$42 : 3 = 26 : 2;$$

в) $$\frac{7,5}{15} = \frac{0,6}{1,2};$$

г) $$2\frac{2}{3} : 1\frac{1}{2} = 4 : 3.$$

а) $ \frac{14}{70} = \frac{25}{125} $

Проверим, является ли данное равенство пропорцией, двумя способами.

Способ 1: Использование основного свойства пропорции.

Пропорция верна, если произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для равенства $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ это свойство выглядит так: $ a \cdot d = b \cdot c $.
В нашем случае крайние члены – это $ 14 $ и $ 125 $, а средние члены – $ 70 $ и $ 25 $.
Найдем произведение крайних членов: $ 14 \cdot 125 = 1750 $.
Найдем произведение средних членов: $ 70 \cdot 25 = 1750 $.
Так как $ 14 \cdot 125 = 70 \cdot 25 $ ($ 1750 = 1750 $), равенство является пропорцией.

Способ 2: Сравнение значений отношений.

Найдем значение каждого отношения (дроби), приведя их к простейшему виду.
Первое отношение: $ \frac{14}{70} $. Сократим дробь на 14: $ \frac{14:14}{70:14} = \frac{1}{5} $.
Второе отношение: $ \frac{25}{125} $. Сократим дробь на 25: $ \frac{25:25}{125:25} = \frac{1}{5} $.
Так как значения отношений равны ($ \frac{1}{5} = \frac{1}{5} $), равенство является пропорцией.

Ответ: да, является пропорцией.

б) $ 42:3 = 26:2 $

Проверим, является ли данное равенство пропорцией, двумя способами.

Способ 1: Использование основного свойства пропорции.

Для пропорции $ a:b = c:d $ должно выполняться равенство $ a \cdot d = b \cdot c $.
В нашем случае крайние члены: $ a = 42 $ и $ d = 2 $. Средние члены: $ b = 3 $ и $ c = 26 $.
Найдем произведение крайних членов: $ 42 \cdot 2 = 84 $.
Найдем произведение средних членов: $ 3 \cdot 26 = 78 $.
Так как $ 84 \neq 78 $, равенство не является пропорцией.

Способ 2: Сравнение значений отношений.

Найдем значение каждого отношения, выполнив деление.
Первое отношение: $ 42:3 = 14 $.
Второе отношение: $ 26:2 = 13 $.
Так как значения отношений не равны ($ 14 \neq 13 $), равенство не является пропорцией.

Ответ: нет, не является пропорцией.

в) $ \frac{7,5}{15} = \frac{0,6}{1,2} $

Проверим, является ли данное равенство пропорцией, двумя способами.

Способ 1: Использование основного свойства пропорции.

Для равенства $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ проверим, выполняется ли $ a \cdot d = b \cdot c $.
В нашем случае крайние члены: $ a = 7,5 $ и $ d = 1,2 $. Средние члены: $ b = 15 $ и $ c = 0,6 $.
Найдем произведение крайних членов: $ 7,5 \cdot 1,2 = 9 $.
Найдем произведение средних членов: $ 15 \cdot 0,6 = 9 $.
Так как $ 7,5 \cdot 1,2 = 15 \cdot 0,6 $ ($ 9 = 9 $), равенство является пропорцией.

Способ 2: Сравнение значений отношений.

Найдем значение каждого отношения, представив их в виде десятичных дробей.
Первое отношение: $ \frac{7,5}{15} = 0,5 $.
Второе отношение: $ \frac{0,6}{1,2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0,5 $.
Так как значения отношений равны ($ 0,5 = 0,5 $), равенство является пропорцией.

Ответ: да, является пропорцией.

г) $ \frac{2}{3} : \frac{1}{2} = 4:3 $

Проверим, является ли данное равенство пропорцией, двумя способами.

Способ 1: Использование основного свойства пропорции.

Для пропорции $ a:b = c:d $ должно выполняться равенство $ a \cdot d = b \cdot c $.
В нашем случае крайние члены: $ a = \frac{2}{3} $ и $ d = 3 $. Средние члены: $ b = \frac{1}{2} $ и $ c = 4 $.
Найдем произведение крайних членов: $ \frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 $.
Найдем произведение средних членов: $ \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4}{2} = 2 $.
Так как $ \frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 4 $ ($ 2 = 2 $), равенство является пропорцией.

Способ 2: Сравнение значений отношений.

Найдем значение каждого отношения.
Первое отношение: $ \frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3} $.
Второе отношение: $ 4:3 $ можно записать в виде дроби $ \frac{4}{3} $.
Так как значения отношений равны ($ \frac{4}{3} = \frac{4}{3} $), равенство является пропорцией.

Ответ: да, является пропорцией.

178 Найдите неизвестный член пропорции:

а) $ \frac{x}{10} = \frac{4}{5} $;

б) $ \frac{6}{a} = \frac{3}{4} $;

в) $ \frac{0,4}{b} = \frac{2}{7} $;

г) $ \frac{3}{8} = \frac{y}{3,2} $;

д) $ 3 : y = 2 : 5 $;

е) $ 6 : 7 = 9 : c $;

ж) $ x : 1,4 = 3 : 0,7 $;

з) $ 9 : 0,8 = a : 1,6 $.

а) В пропорции $\frac{x}{10} = \frac{4}{5}$ неизвестен крайний член $x$. По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних. Запишем это в виде уравнения: $x \cdot 5 = 10 \cdot 4$. Решим полученное уравнение: $5x = 40$. Отсюда $x = \frac{40}{5}$, то есть $x = 8$.
Ответ: 8

б) В пропорции $\frac{6}{a} = \frac{3}{4}$ неизвестен средний член $a$. По основному свойству пропорции: $6 \cdot 4 = a \cdot 3$. Решим уравнение: $24 = 3a$. Отсюда $a = \frac{24}{3}$, то есть $a = 8$.
Ответ: 8

в) В пропорции $\frac{0,4}{b} = \frac{2}{7}$ неизвестен средний член $b$. По основному свойству пропорции: $0,4 \cdot 7 = b \cdot 2$. Решим уравнение: $2,8 = 2b$. Отсюда $b = \frac{2,8}{2}$, то есть $b = 1,4$.
Ответ: 1,4

г) В пропорции $\frac{3}{8} = \frac{y}{3,2}$ неизвестен средний член $y$. По основному свойству пропорции: $3 \cdot 3,2 = 8 \cdot y$. Решим уравнение: $9,6 = 8y$. Отсюда $y = \frac{9,6}{8}$, то есть $y = 1,2$.
Ответ: 1,2

д) Пропорцию $3 : y = 2 : 5$ можно записать в виде $\frac{3}{y} = \frac{2}{5}$. Здесь неизвестен средний член $y$. По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($3$ и $5$) равно произведению средних ($y$ и $2$): $3 \cdot 5 = y \cdot 2$. Решим уравнение: $15 = 2y$. Отсюда $y = \frac{15}{2}$, то есть $y = 7,5$.
Ответ: 7,5

е) Пропорцию $6 : 7 = 9 : c$ можно записать в виде $\frac{6}{7} = \frac{9}{c}$. Здесь неизвестен крайний член $c$. По основному свойству пропорции: $6 \cdot c = 7 \cdot 9$. Решим уравнение: $6c = 63$. Отсюда $c = \frac{63}{6}$, то есть $c = 10,5$.
Ответ: 10,5

ж) Пропорцию $x : 1,4 = 3 : 0,7$ можно записать в виде $\frac{x}{1,4} = \frac{3}{0,7}$. Здесь неизвестен крайний член $x$. По основному свойству пропорции: $x \cdot 0,7 = 1,4 \cdot 3$. Решим уравнение: $0,7x = 4,2$. Отсюда $x = \frac{4,2}{0,7}$, то есть $x = 6$.
Ответ: 6

з) Пропорцию $9 : 0,8 = a : 1,6$ можно записать в виде $\frac{9}{0,8} = \frac{a}{1,6}$. Здесь неизвестен средний член $a$. По основному свойству пропорции: $9 \cdot 1,6 = 0,8 \cdot a$. Решим уравнение: $14,4 = 0,8a$. Отсюда $a = \frac{14,4}{0,8}$, то есть $a = 18$.
Ответ: 18

179 ФОРМУЛИРУЕМ АЛГОРИТМ

Из пропорции $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ выразите число $a$; число $b$. Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции; неизвестного среднего члена пропорции.

выразите число a

Дана пропорция $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $.

В этой пропорции $a$ и $d$ являются крайними членами, а $b$ и $c$ – средними членами.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$ a \cdot d = b \cdot c $

Чтобы выразить из этого равенства член $a$, нужно разделить обе части на $d$ (при условии, что $d \neq 0$):

$ \frac{a \cdot d}{d} = \frac{b \cdot c}{d} $

Сократив $d$ в левой части, получаем выражение для $a$:

Ответ: $ a = \frac{b \cdot c}{d} $

выразите число b

Снова воспользуемся основным свойством пропорции: $ a \cdot d = b \cdot c $.

Чтобы выразить из этого равенства член $b$, нужно разделить обе части на $c$ (при условии, что $c \neq 0$):

$ \frac{a \cdot d}{c} = \frac{b \cdot c}{c} $

Сократив $c$ в правой части, получаем выражение для $b$:

Ответ: $ b = \frac{a \cdot d}{c} $

Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции

Крайними членами пропорции $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ являются $a$ и $d$. Мы уже получили формулу для нахождения $a$: $ a = \frac{b \cdot c}{d} $. Аналогично можно найти $d$: $ d = \frac{b \cdot c}{a} $. В обоих случаях неизвестный крайний член равен произведению средних членов, деленному на известный крайний член.

Ответ: Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение её средних членов разделить на известный крайний член.

Сформулируйте правило нахождения неизвестного среднего члена пропорции

Средними членами пропорции $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ являются $b$ и $c$. Мы уже получили формулу для нахождения $b$: $ b = \frac{a \cdot d}{c} $. Аналогично можно найти $c$: $ c = \frac{a \cdot d}{b} $. В обоих случаях неизвестный средний член равен произведению крайних членов, деленному на известный средний член.

Ответ: Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член.

180 Обозначьте неизвестную величину буквой и составьте разные пропорции по условию задачи:

а) Таня занимается рассылкой объявлений. Она запечатывает 100 конвертов за 16 мин. Сколько конвертов запечатает она за 40 мин, если будет работать с такой же скоростью?

б) Ольга может за 30 с набрать на компьютере 160 знаков. Сколько знаков она наберёт за 5 мин, если будет работать с той же скоростью?

а)

Обозначим неизвестную величину — количество конвертов, которое Таня запечатает за 40 минут, — буквой $x$.

Поскольку скорость работы постоянна, количество запечатанных конвертов прямо пропорционально времени работы. Мы можем составить следующие пропорции, связывающие количество конвертов и время:

• Отношение количества конвертов ко времени постоянно:
  $ \frac{100}{16} = \frac{x}{40} $
• Отношение количества конвертов в первом случае ко второму равно отношению времени в первом случае ко второму:
  $ \frac{100}{x} = \frac{16}{40} $
• Обратная пропорция к предыдущей:
  $ \frac{x}{100} = \frac{40}{16} $
• Отношение времени к количеству конвертов постоянно:
  $ \frac{16}{100} = \frac{40}{x} $

Решим одну из пропорций, например, $ \frac{x}{100} = \frac{40}{16} $.
Чтобы найти крайний член пропорции $x$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
$ x = \frac{100 \cdot 40}{16} $
Сократим дробь:
$ x = \frac{100 \cdot 5}{2} $
$ x = 50 \cdot 5 $
$ x = 250 $

Ответ: Таня запечатает 250 конвертов за 40 минут.

б)

Обозначим неизвестную величину — количество знаков, которое Ольга наберёт за 5 минут, — буквой $y$.

Сначала приведем время к единым единицам измерения. В одной минуте 60 секунд, поэтому 5 минут — это $5 \cdot 60 = 300$ секунд.

Количество набранных знаков прямо пропорционально времени, так как скорость набора постоянна. Составим различные пропорции:

• Отношение количества знаков ко времени постоянно:
  $ \frac{160}{30} = \frac{y}{300} $
• Отношение количества знаков в первом случае ко второму равно отношению времени в первом случае ко второму:
  $ \frac{160}{y} = \frac{30}{300} $
• Обратная пропорция к предыдущей:
  $ \frac{y}{160} = \frac{300}{30} $
• Отношение времени к количеству знаков постоянно:
  $ \frac{30}{160} = \frac{300}{y} $

Решим пропорцию $ \frac{y}{160} = \frac{300}{30} $.
Сначала упростим правую часть:
$ \frac{y}{160} = 10 $
Теперь найдем $y$:
$ y = 160 \cdot 10 $
$ y = 1600 $

Ответ: Ольга наберёт 1600 знаков за 5 минут.

Решите задачу (181–184).

181 а) За 2,5 ч выпало 1,5 мм осадков. Сколько осадков выпало бы за 6 ч, если бы дождь шёл с такой же силой?

б) За 2,5 мин на принтере распечатали 15 страниц. За какое время можно распечатать на этом принтере 100 страниц?

а) В этой задаче количество осадков прямо пропорционально времени, так как интенсивность дождя постоянна. Мы можем найти, сколько осадков выпадает за один час, а затем умножить это значение на 6 часов.

1. Найдем количество осадков в час (интенсивность):
$1,5 \text{ мм} \div 2,5 \text{ ч} = \frac{1,5}{2,5} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$ мм/ч.

2. Теперь рассчитаем, сколько осадков выпадет за 6 часов с такой же интенсивностью:
$0,6 \text{ мм/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 3,6$ мм.

Также можно решить задачу с помощью пропорции. Пусть $x$ — количество осадков за 6 часов. Тогда:

$\frac{1,5 \text{ мм}}{2,5 \text{ ч}} = \frac{x \text{ мм}}{6 \text{ ч}}$

Отсюда $x = \frac{1,5 \cdot 6}{2,5} = \frac{9}{2,5} = 3,6$ мм.

Ответ: 3,6 мм.

б) В этой задаче время печати прямо пропорционально количеству страниц, так как скорость принтера постоянна. Мы можем найти, сколько страниц принтер печатает за одну минуту (скорость печати), а затем рассчитать время для печати 100 страниц.

1. Найдем скорость печати принтера в страницах в минуту:
$15 \text{ страниц} \div 2,5 \text{ мин} = \frac{15}{2,5} = \frac{150}{25} = 6$ страниц/мин.

2. Теперь рассчитаем, сколько времени потребуется для печати 100 страниц:
$100 \text{ страниц} \div 6 \text{ страниц/мин} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$ минуты.

Дробь $\frac{50}{3}$ можно представить в виде смешанного числа: $16 \frac{2}{3}$ минуты. Также можно перевести дробную часть в секунды: $\frac{2}{3}$ минуты $= \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ секунд. Таким образом, время составляет 16 минут 40 секунд.

Решение с помощью пропорции. Пусть $t$ — время печати 100 страниц. Тогда:

$\frac{15 \text{ страниц}}{2,5 \text{ мин}} = \frac{100 \text{ страниц}}{t \text{ мин}}$

Отсюда $t = \frac{100 \cdot 2,5}{15} = \frac{250}{15} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$ минуты.

Ответ: $16 \frac{2}{3}$ минуты (или 16 минут 40 секунд).

182 Масштаб карты $1 : 5 000 000$.

а) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности?

б) Расстояние между Москвой и Ригой 900 км. Чему равно это расстояние на карте?

Масштаб карты 1:5 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 5 000 000 см в действительности.

Для удобства расчетов переведем сантиметры в километры. Зная, что в 1 км содержится 100 000 см ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \text{ см/м} = 100\,000 \text{ см}$), найдем, скольким километрам соответствуют 5 000 000 см:

$5\,000\,000 \text{ см} \div 100\,000 \text{ см/км} = 50 \text{ км}$

Таким образом, 1 см на карте соответствует 50 км на местности.

а)

Чтобы найти реальное расстояние между Москвой и Курском, нужно расстояние на карте (9 см) умножить на величину масштаба.

$9 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = 450 \text{ км}$

Также можно сначала вычислить расстояние в сантиметрах, а затем перевести его в километры:

$9 \text{ см} \times 5\,000\,000 = 45\,000\,000 \text{ см}$

$45\,000\,000 \text{ см} \div 100\,000 \text{ см/км} = 450 \text{ км}$

Ответ: 450 км.

б)

Чтобы найти расстояние на карте между Москвой и Ригой, нужно реальное расстояние (900 км) разделить на величину масштаба.

$900 \text{ км} \div 50 \text{ км/см} = 18 \text{ см}$

Альтернативный способ — перевести реальное расстояние в сантиметры и разделить на численный масштаб:

$900 \text{ км} \times 100\,000 \text{ см/км} = 90\,000\,000 \text{ см}$

$90\,000\,000 \text{ см} \div 5\,000\,000 = 18 \text{ см}$

Ответ: 18 см.