Номер 188, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 188, страница 61.

188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так, чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию:

a) 20, 5, 7;

б) 10, 16, 3.

Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае?

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать как $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Чтобы найти четвёртое число $x$ для заданной тройки чисел, нужно рассмотреть все возможные варианты составления пропорции. В общем случае для трёх данных чисел $a, b, c$ и неизвестного $x$ существует три варианта равенства произведений, так как неизвестное число $x$ может быть в паре с каждым из данных чисел в качестве крайних (или средних) членов пропорции:

1. $a \cdot x = b \cdot c$
2. $b \cdot x = a \cdot c$
3. $c \cdot x = a \cdot b$

а) 20, 5, 7;

Пусть четвертое число равно $x$. Рассмотрим три возможных варианта, чтобы из чисел 20, 5, 7 и $x$ составить пропорцию.

1. Произведение крайних членов $20 \cdot x$ равно произведению средних $5 \cdot 7$.
$20x = 35$
$x = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1,75$.
Пример пропорции: $20 : 5 = 7 : 1,75$.

2. Произведение крайних членов $5 \cdot x$ равно произведению средних $20 \cdot 7$.
$5x = 140$
$x = \frac{140}{5} = 28$.
Пример пропорции: $5 : 20 = 7 : 28$.

3. Произведение крайних членов $7 \cdot x$ равно произведению средних $20 \cdot 5$.
$7x = 100$
$x = \frac{100}{7}$.
Пример пропорции: $7 : 20 = 5 : \frac{100}{7}$.

Таким образом, в данном случае мы нашли три различных числа, которые могут быть четвёртым членом пропорции.

Ответ: найдено 3 числа: $1,75$; $28$; $\frac{100}{7}$.

б) 10, 16, 3.

Пусть четвертое число равно $x$. Рассмотрим три возможных варианта, чтобы из чисел 10, 16, 3 и $x$ составить пропорцию.

1. Произведение крайних членов $10 \cdot x$ равно произведению средних $16 \cdot 3$.
$10x = 48$
$x = \frac{48}{10} = 4,8$.
Пример пропорции: $10 : 16 = 3 : 4,8$.

2. Произведение крайних членов $16 \cdot x$ равно произведению средних $10 \cdot 3$.
$16x = 30$
$x = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$.
Пример пропорции: $16 : 10 = 3 : 1,875$.

3. Произведение крайних членов $3 \cdot x$ равно произведению средних $10 \cdot 16$.
$3x = 160$
$x = \frac{160}{3}$.
Пример пропорции: $3 : 10 = 16 : \frac{160}{3}$.

Таким образом, в этом случае мы также нашли три различных числа, которые могут быть четвёртым членом пропорции.

Ответ: найдено 3 числа: $4,8$; $1,875$; $\frac{160}{3}$.