Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

317 Верно ли, что $(x - y)z = xz - yz$? Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Верно ли, что $(x-y)z = xz - yz$?

Да, данное равенство верно. Оно является проявлением распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно вычитания. Чтобы это доказать, достаточно раскрыть скобки в левой части равенства, умножив каждый член в скобках на $z$:

$(x - y)z = x \cdot z - y \cdot z = xz - yz$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью равенства, что доказывает его истинность для любых чисел $x, y, z$.

Ответ: да, равенство верно.

Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Чтобы дать геометрическую интерпретацию, представим, что $x, y, z$ — это длины сторон прямоугольников. Для того чтобы все длины были положительными, будем считать, что $x > y > 0$ и $z > 0$.

1. Рассмотрим большой прямоугольник со сторонами $x$ и $z$. Его площадь $S_1$ равна $xz$.

2. Внутри этого прямоугольника, на стороне длиной $x$, отложим отрезок длиной $y$. Оставшаяся часть этой стороны будет иметь длину $x-y$.

3. Проведем линию, разделяющую большой прямоугольник на два меньших. Мы получим:

• Прямоугольник со сторонами $y$ и $z$. Его площадь $S_2$ равна $yz$.
• Прямоугольник со сторонами $(x-y)$ и $z$. Его площадь $S_3$ равна $(x-y)z$.

Площадь большого прямоугольника $S_1$ равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит: $S_1 = S_2 + S_3$, или $xz = yz + (x-y)z$.

Если из площади большого прямоугольника ($xz$) вычесть площадь одного из меньших ($yz$), то останется площадь второго меньшего прямоугольника ($(x-y)z$).

Таким образом, равенство $(x-y)z = xz - yz$ на «языке площадей» означает, что площадь прямоугольника со сторонами $(x-y)$ и $z$ равна разности площадей прямоугольника со сторонами $x, z$ и прямоугольника со сторонами $y, z$.

Ответ: Если из прямоугольника площадью $xz$ вырезать прямоугольник площадью $yz$ (имеющий общую сторону $z$), то площадь оставшейся фигуры будет равна $(x-y)z$.

318 Предложите какую-нибудь интерпретацию равенства — на «языке денег» или на «языке расстояний»:

а) $(x+z)-(y+z)=x-y;$

б) $x-(y-z+t)=x-y+z-t.$

Данное равенство можно интерпретировать на «языке денег».

Предположим, у двух друзей, Алексея и Бориса, были разные суммы денег. У Алексея было x рублей, а у Бориса — y рублей. Разница между их суммами составляла $x - y$ рублей.

Затем каждому из них родители дали одинаковую сумму — по z рублей. После этого у Алексея стало $(x + z)$ рублей, а у Бориса — $(y + z)$ рублей. Новая разница между их капиталами теперь составляет $(x + z) - (y + z)$.

Равенство $(x + z) - (y + z) = x - y$ наглядно показывает, что хотя суммы у каждого из друзей изменились, разница между ними осталась прежней. Таким образом, если к двум различным денежным суммам прибавить или отнять от них одну и ту же сумму, их разность не изменится.

Ответ: Если у Алексея было x рублей, а у Бориса y рублей, и каждому добавили по z рублей, то разница между их новыми суммами $(x+z)$ и $(y+z)$ останется такой же, какой была и первоначальная разница $x-y$.

Это равенство также можно легко интерпретировать на «языке денег».

Представим, что у вас на счету было x рублей. Вы решили оплатить коммунальные услуги. Общий счет состоит из нескольких частей: основной платеж за услуги составляет y рублей, вам предоставлена субсидия (скидка) в размере z рублей, и вы должны оплатить пеню за просрочку в размере t рублей. Итоговая сумма, которую необходимо списать с вашего счета, равна $(y - z + t)$ рублей. После оплаты у вас останется $x - (y - z + t)$ рублей.

Этот же результат можно получить, производя расчеты последовательно. Изначально у вас x рублей. Вы оплачиваете основной платеж, и у вас остается $x - y$ рублей. Затем на счет возвращается сумма субсидии, и у вас становится $x - y + z$ рублей. Наконец, вы оплачиваете пеню, и итоговая сумма на счете составляет $x - y + z - t$ рублей.

Равенство $x - (y - z + t) = x - y + z - t$ показывает, что оба способа расчета приводят к одному и тому же результату. Оно иллюстрирует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Ответ: Если у вас было x рублей, и вы оплачиваете счет, состоящий из основного платежа y, скидки z и пени t, то остаток средств можно посчитать двумя способами. Либо из начальной суммы вычесть итоговую сумму счета $x - (y - z + t)$, либо последовательно вычесть платеж, прибавить скидку и вычесть пеню $x - y + z - t$. Результат будет одинаковым.

319 Как можно истолковать на «языке объёмов» равенство

$(xy)z = x(yz)$?

Равенство $(xy)z = x(yz)$ является математической записью сочетательного (ассоциативного) закона умножения. На «языке объёмов» это равенство можно истолковать через вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда.

Представим прямоугольный параллелепипед с измерениями (длиной, шириной и высотой) $x$, $y$ и $z$. Его объём $V$ можно вычислить, перемножив эти три величины.

Рассмотрим левую часть равенства: $(xy)z$.

• Сначала вычисляется произведение $S = xy$. Геометрически это площадь основания параллелепипеда — прямоугольника со сторонами $x$ и $y$.
• Затем эта площадь умножается на третье измерение, высоту $z$. Таким образом, $V = S \cdot z = (xy)z$. Это стандартная формула объёма: произведение площади основания на высоту.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $x(yz)$.

• Сначала вычисляется произведение $S' = yz$. Геометрически это площадь боковой грани параллелепипеда — прямоугольника со сторонами $y$ и $z$.
• Затем эта площадь умножается на первое измерение, длину $x$. Таким образом, $V = x \cdot S' = x(yz)$. В этом случае мы как бы «положили» параллелепипед на боковую грань и вычислили его объём, умножив площадь нового основания (бывшей боковой грани) на новую высоту (бывшую длину).

Поскольку объём одного и того же физического тела не меняется от того, с какой стороны мы на него посмотрим и какую грань выберем в качестве основания, то и результаты вычислений должны быть одинаковыми. Равенство $(xy)z = x(yz)$ как раз и утверждает, что объём прямоугольного параллелепипеда не зависит от способа его вычисления (то есть от порядка перемножения его измерений).

Ответ: Равенство $(xy)z = x(yz)$ на «языке объёмов» означает, что объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $x$, $y$ и $z$ не зависит от порядка вычисления: можно сначала найти площадь основания (грань со сторонами $x$ и $y$) и умножить на высоту $z$, а можно сначала найти площадь боковой грани (со сторонами $y$ и $z$) и умножить на ребро $x$. Результат будет идентичным, так как это объём одного и того же тела.

320 С помощью какого-либо «языка» дайте истолкование равенства $x : (yz) = (x : y) : z.$

Данное равенство является свойством деления, которое можно доказать алгебраически и проинтерпретировать с помощью различных «языков», например, языка житейских ситуаций или экономики.

Алгебраическое доказательство

Запишем данное равенство, используя знаки умножения и дроби. Знак «:» означает деление, а запись «yz» означает произведение $y \times z$.

Левая часть равенства: $x : (yz) = x \div (y \times z) = \frac{x}{yz}$.

Правая часть равенства: $(x : y) : z = (x \div y) \div z = \frac{x/y}{z} = \frac{x}{y} \times \frac{1}{z} = \frac{x}{yz}$.

Поскольку левая и правая части приводятся к одному и тому же выражению $\frac{x}{yz}$, равенство является тождеством (при $y \neq 0$ и $z \neq 0$).

Интерпретация на языке житейских ситуаций

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть у нас есть:

• $x$ — общее количество конфет.
• $y$ — количество коробок.
• $z$ — количество детей, которые должны поровну разделить конфеты из одной коробки.

Тогда равенство $x : (yz) = (x : y) : z$ можно истолковать следующим образом.

Левая часть: $x : (yz)$

Сначала мы вычисляем общее количество детей, которые получат конфеты. Если у нас $y$ коробок, и конфеты из каждой коробки делят $z$ детей (и все дети разные), то общее число детей равно произведению $y \times z$.

Выражение $x : (yz)$ означает, что мы делим общее количество конфет ($x$) на общее количество детей ($yz$). В результате мы получаем, сколько конфет достанется каждому отдельному ребенку.

Правая часть: $(x : y) : z$

Здесь мы меняем порядок действий. Сначала мы делим все конфеты ($x$) на количество коробок ($y$).

Выражение $x : y$ означает, сколько конфет попадает в каждую отдельную коробку.

Затем мы берем конфеты из одной коробки ($(x : y)$) и делим их на количество детей ($z$), которые претендуют на эту коробку. В результате мы снова получаем, сколько конфет достанется каждому отдельному ребенку.

Вывод

Обе части равенства описывают один и тот же конечный результат, но разными способами. Левая часть — это деление общего количества на всех участников сразу. Правая часть — это поэтапное деление: сначала на группы (коробки), а затем внутри каждой группы.

Ответ: Равенство $x : (yz) = (x : y) : z$ можно истолковать как задачу о справедливом распределении. Например, если $x$ конфет нужно сначала разложить в $y$ коробок, а затем конфеты из каждой коробки разделить между $z$ детьми, то количество конфет, которое получит один ребенок, можно вычислить двумя способами. Первый способ (левая часть): разделить общее число конфет $x$ на общее число детей $yz$. Второй способ (правая часть): сначала найти, сколько конфет в одной коробке $(x:y)$, а затем это количество разделить на число детей $z$. Результат в обоих случаях будет одинаковым.

321 Запишите равенство $x + (y - x) = y$, заменив знак «плюс» знаком умножения, а знак «минус» знаком деления — двоеточием или чертой дроби. Верно ли полученное равенство?

Замена знаков в равенстве

Исходное равенство: $x + (y - x) = y$.

Согласно условию задачи, необходимо заменить знак сложения «+» на знак умножения «·», а знак вычитания «–» на знак деления. Знак деления можно представить в виде черты дроби.

Выполним замену в левой части равенства:

1. Заменяем знак «+»: $x \cdot (y - x)$

2. Заменяем знак «–» на черту дроби: $x \cdot \frac{y}{x}$

Таким образом, все равенство после замены знаков будет выглядеть так: $x \cdot \frac{y}{x} = y$.

Ответ: $x \cdot \frac{y}{x} = y$.

Проверка истинности полученного равенства

Проверим, является ли полученное равенство $x \cdot \frac{y}{x} = y$ верным. Для этого упростим его левую часть.

$x \cdot \frac{y}{x} = \frac{x \cdot y}{x}$

Если $x \ne 0$, мы можем сократить $x$ в числителе и знаменателе дроби. В результате получим:

$\frac{x \cdot y}{x} = y$

Таким образом, мы приходим к равенству $y = y$. Это верное тождество.

Однако, это преобразование справедливо только при условии, что знаменатель $x$ не равен нулю ($x \ne 0$), так как деление на ноль является недопустимой операцией. Исходное равенство $x + (y - x) = y$ было верно для любых значений $x$ и $y$, включая $x=0$. Новое равенство теряет смысл при $x=0$.

Ответ: Полученное равенство верно, но не для всех значений переменных. Оно истинно для любого значения $y$ и любого значения $x$, кроме $x = 0$.

322 Запишите равенство $(xy) : (zt) = (x : z) (y : t)$, заменив знак деления знаком «минус», а знак умножения знаком «плюс».

Полученное равенство: $(x+y) - (z+t) = (x-z) + (y-t)$

Верно ли полученное равенство?

Однако опоры на реальный смысл арифметических действий, вообще говоря, недостаточно. Ну хотя бы потому, что и на «языке денег», и на «языке расстояний», и на «языке площадей» мы всегда рассматриваем только положительные числа, а часто даже и натуральные.

С точки зрения математики алгебраические преобразования, которыми мы пользуемся, нуждаются в более строгом обосновании. И оказывается, ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных доказательств. Надо только суметь воспользоваться этими знаниями.

Запишите равенство (xy) : (zt) = (x : z) (y : t), заменив знак деления знаком «минус», а знак умножения знаком «плюс».

Для выполнения этой задачи возьмем исходное равенство и последовательно заменим в нем все знаки умножения и деления согласно условию.

Исходное равенство: $(xy) : (zt) = (x : z) (y : t)$

В алгебраических выражениях, таких как $(xy)$, знак умножения между переменными $x$ и $y$ обычно опускается, но он подразумевается. То же самое относится к $(zt)$ и к умножению скобок $(x : z)$ и $(y : t)$.

Произведем замену знаков:

1. Знак умножения (в том числе опущенный) заменяем на знак «плюс» (+).
2. Знак деления (:) заменяем на знак «минус» (-).

Преобразуем левую часть равенства:

$(xy) : (zt) \rightarrow (x+y) - (z+t)$

Преобразуем правую часть равенства:

$(x : z) (y : t) \rightarrow (x-z) + (y-t)$

Объединив обе части, мы получаем новое равенство.

Ответ: $(x + y) - (z + t) = (x - z) + (y - t)$

Верно ли полученное равенство?

Чтобы проверить истинность полученного равенства, необходимо упростить обе его части, используя правила раскрытия скобок, и сравнить результаты.

Полученное равенство: $(x + y) - (z + t) = (x - z) + (y - t)$

1. Упростим левую часть: $(x + y) - (z + t)$

При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные:

$(x + y) - (z + t) = x + y - z - t$

2. Упростим правую часть: $(x - z) + (y - t)$

При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «плюс», знаки слагаемых внутри скобок не изменяются:

$(x - z) + (y - t) = x - z + y - t$

3. Сравним упрощенные выражения.

Левая часть: $x + y - z - t$

Правая часть: $x - z + y - t$

Используя переместительный закон сложения (слагаемые можно менять местами), приведем правую часть к тому же виду, что и левую:

$x - z + y - t = x + y - z - t$

Так как после упрощения левая и правая части равенства оказались тождественно равны, исходное утверждение является верным для любых значений переменных $x, y, z, t$.

Ответ: да, полученное равенство верно.