Номер 322, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Еще раз о законах алгебры. Глава 3. Введение в алгебру - номер 322, страница 96.

322 Запишите равенство $(xy) : (zt) = (x : z) (y : t)$, заменив знак деления знаком «минус», а знак умножения знаком «плюс».

Полученное равенство: $(x+y) - (z+t) = (x-z) + (y-t)$

Верно ли полученное равенство?

Однако опоры на реальный смысл арифметических действий, вообще говоря, недостаточно. Ну хотя бы потому, что и на «языке денег», и на «языке расстояний», и на «языке площадей» мы всегда рассматриваем только положительные числа, а часто даже и натуральные.

С точки зрения математики алгебраические преобразования, которыми мы пользуемся, нуждаются в более строгом обосновании. И оказывается, ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных доказательств. Надо только суметь воспользоваться этими знаниями.

Запишите равенство (xy) : (zt) = (x : z) (y : t), заменив знак деления знаком «минус», а знак умножения знаком «плюс».

Для выполнения этой задачи возьмем исходное равенство и последовательно заменим в нем все знаки умножения и деления согласно условию.

Исходное равенство: $(xy) : (zt) = (x : z) (y : t)$

В алгебраических выражениях, таких как $(xy)$, знак умножения между переменными $x$ и $y$ обычно опускается, но он подразумевается. То же самое относится к $(zt)$ и к умножению скобок $(x : z)$ и $(y : t)$.

Произведем замену знаков:

1. Знак умножения (в том числе опущенный) заменяем на знак «плюс» (+).
2. Знак деления (:) заменяем на знак «минус» (-).

Преобразуем левую часть равенства:

$(xy) : (zt) \rightarrow (x+y) - (z+t)$

Преобразуем правую часть равенства:

$(x : z) (y : t) \rightarrow (x-z) + (y-t)$

Объединив обе части, мы получаем новое равенство.

Ответ: $(x + y) - (z + t) = (x - z) + (y - t)$

Верно ли полученное равенство?

Чтобы проверить истинность полученного равенства, необходимо упростить обе его части, используя правила раскрытия скобок, и сравнить результаты.

Полученное равенство: $(x + y) - (z + t) = (x - z) + (y - t)$

1. Упростим левую часть: $(x + y) - (z + t)$

При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные:

$(x + y) - (z + t) = x + y - z - t$

2. Упростим правую часть: $(x - z) + (y - t)$

При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «плюс», знаки слагаемых внутри скобок не изменяются:

$(x - z) + (y - t) = x - z + y - t$

3. Сравним упрощенные выражения.

Левая часть: $x + y - z - t$

Правая часть: $x - z + y - t$

Используя переместительный закон сложения (слагаемые можно менять местами), приведем правую часть к тому же виду, что и левую:

$x - z + y - t = x + y - z - t$

Так как после упрощения левая и правая части равенства оказались тождественно равны, исходное утверждение является верным для любых значений переменных $x, y, z, t$.

Ответ: да, полученное равенство верно.