Номер 329, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Введение в алгебру - номер 329, страница 99.

329 Докажите, что число:

a) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37;

б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.

Подсказка. Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число, записанное двумя одинаковыми цифрами, можно представить в виде $10a + a$.

а) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37;
Пусть $a$ — это любая цифра от 1 до 9. Тогда число, записанное тремя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $\overline{aaa}$.
Следуя подсказке, представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$
Чтобы доказать, что это число делится на 37, нужно проверить, делится ли на 37 один из множителей. Проверим число 111:
$111 \div 37 = 3$
Таким образом, мы можем переписать наше исходное число как:
$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37) = 37 \cdot (3a)$
Поскольку один из множителей в произведении равен 37, то все число делится на 37 без остатка, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.
Пусть $a$ — это любая цифра от 1 до 9. Тогда число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $\overline{aaaa}$.
Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1000 + a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = a \cdot 1111$
Чтобы доказать, что это число делится на 11 и на 101, разложим множитель 1111 на простые множители. Заметим, что $1111 = 1100 + 11 = 11 \cdot 100 + 11 \cdot 1 = 11 \cdot (100 + 1) = 11 \cdot 101$.
Теперь мы можем переписать наше исходное число как:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1111 = a \cdot (11 \cdot 101)$
Из этого выражения видно, что число $\overline{aaaa}$ можно представить как произведение $11 \cdot (101a)$, что доказывает его делимость на 11.
Также его можно представить как произведение $101 \cdot (11a)$, что доказывает его делимость на 101.
Следовательно, любое число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится и на 11, и на 101.
Ответ: Доказано.