Номер 330, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Введение в алгебру - номер 330, страница 99.

330 В последовательности Фибоначчи каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

a) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой $a$, следующее за ним буквой $b$ и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел.

б) Докажите, что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4.

в) Докажите, что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3.

а)

Пусть $a$ и $b$ — два последовательных числа в последовательности Фибоначчи. По определению, каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Запишем четыре следующих за $b$ члена последовательности в виде буквенных выражений:

Первый член после $b$: $a + b$
Второй член после $b$: $b + (a + b) = a + 2b$
Третий член после $b$: $(a + b) + (a + 2b) = 2a + 3b$
Четвертый член после $b$: $(a + 2b) + (2a + 3b) = 3a + 5b$

Ответ: Четыре следующих числа: $a + b$, $a + 2b$, $2a + 3b$, $3a + 5b$.

б)

Для доказательства возьмем шесть произвольных последовательных членов последовательности Фибоначчи. Обозначим первые два члена как $a$ и $b$. Тогда следующие четыре члена будут такими, как мы нашли в пункте а). Шесть последовательных членов: $a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b$.

Найдем их сумму $S_6$:
$S_6 = a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b)$

Сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$ и упростим выражение:
$S_6 = (a + a + a + 2a + 3a) + (b + b + 2b + 3b + 5b) = 8a + 12b$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$S_6 = 4(2a + 3b)$

Поскольку числа Фибоначчи являются целыми, то $a$ и $b$ — целые числа. Значит, выражение в скобках $2a + 3b$ также является целым числом. Таким образом, сумма шести последовательных членов последовательности Фибоначчи всегда является произведением числа 4 на целое число, следовательно, она делится на 4 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма шести последовательных чисел Фибоначчи равна $4(2a+3b)$, что доказывает её делимость на 4.

в)

Для доказательства возьмем восемь произвольных последовательных членов последовательности Фибоначчи. Первые два члена обозначим как $a$ и $b$. Первые шесть членов и их сумма нам уже известны. Найдем седьмой и восьмой члены:

Седьмой член: $(2a + 3b) + (3a + 5b) = 5a + 8b$
Восьмой член: $(3a + 5b) + (5a + 8b) = 8a + 13b$

Таким образом, восемь последовательных членов это: $a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 13b$.

Найдем их сумму $S_8$. Можно сложить все восемь выражений или к сумме первых шести членов $S_6=8a+12b$ прибавить седьмой и восьмой члены:
$S_8 = S_6 + (5a + 8b) + (8a + 13b) = (8a + 12b) + 5a + 8b + 8a + 13b$

Сгруппируем слагаемые и упростим:
$S_8 = (8a + 5a + 8a) + (12b + 8b + 13b) = 21a + 33b$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S_8 = 3(7a + 11b)$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, выражение в скобках $7a + 11b$ также является целым числом. Это означает, что сумма восьми последовательных членов последовательности Фибоначчи всегда является произведением числа 3 на целое число и, следовательно, делится на 3 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма восьми последовательных чисел Фибоначчи равна $3(7a+11b)$, что доказывает её делимость на 3.