Номер 331, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Введение в алгебру - номер 331, страница 99.

331 Докажите равенство:

а) $p(k + p) - 2k(p - 1) - p^2 = 2k - 2p;$

б) $a(b + 1) - c(a + b) + b(c + 1) - (a + b) = ab - ac.$

а)

Для того чтобы доказать равенство, необходимо преобразовать его левую часть и сравнить с правой.

Левая часть равенства: $p(k + p) - 2k(p - 1) - p^2$.

Выполним преобразования шаг за шагом:

1. Раскроем скобки в выражении $p(k + p)$:
$p(k + p) = p \cdot k + p \cdot p = pk + p^2$.

2. Раскроем скобки в выражении $-2k(p - 1)$:
$-2k(p - 1) = -2k \cdot p - (-2k) \cdot 1 = -2kp + 2k$.

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$pk + p^2 - 2kp + 2k - p^2$.

4. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $p^2$ и $-p^2$ взаимно уничтожаются. Учитывая, что умножение коммутативно ($pk = kp$), сгруппируем слагаемые с $k$ и $p$:

$(p^2 - p^2) + (pk - 2kp) + 2k = 0 - kp + 2k = 2k - kp$.

Таким образом, левая часть равенства равна $2k - kp$.

Правая часть исходного равенства равна $2k - 2p$.

Сравнивая левую и правую части, мы получаем $2k - kp = 2k - 2p$. Данное равенство будет верным, только если $-kp = -2p$, или $p(k-2) = 0$. Это выполняется только в двух случаях: при $p = 0$ или при $k = 2$.

Поскольку равенство выполняется не для всех возможных значений переменных, оно не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Оно верно только при $p=0$ или $k=2$.

б)

Для того чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

Левая часть равенства: $a(b + 1) - c(a + b) + b(c + 1) - (a + b)$.

1. Последовательно раскроем все скобки:

$a(b + 1) = ab + a$

$-c(a + b) = -ac - bc$

$b(c + 1) = bc + b$

$-(a + b) = -a - b$

2. Запишем выражение целиком после раскрытия скобок:

$ab + a - ac - bc + bc + b - a - b$.

3. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ab - ac + (a - a) + (-bc + bc) + (b - b)$

4. Выполним вычисления в скобках:

$ab - ac + 0 + 0 + 0 = ab - ac$.

В результате преобразований левая часть равенства оказалась тождественно равна правой части: $ab - ac = ab - ac$.

Ответ: Равенство доказано.