Номер 332, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Введение в алгебру - номер 332, страница 99.

332 Докажите, что если равенство $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ – пропорция, то равенства $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $ и $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $ также являются пропорциями. Используя доказанное утверждение, составьте две новые пропорции из пропорции $ \frac{2}{3} = \frac{10}{15} $.

Задача состоит из двух частей: доказательства двух свойств пропорции и их применения на конкретном примере.

Доказательство, что равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ является пропорцией

Начнем с исходной пропорции, которая дана как верное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Прибавим к обеим частям этого равенства число 1. Равенство при этом сохранится.

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$

Теперь представим 1 в левой части как дробь $\frac{b}{b}$, а в правой части — как дробь $\frac{d}{d}$.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$

Сложив дроби в каждой части равенства, получим:

$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Таким образом, мы доказали, что из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует пропорция $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.

Ответ: Доказано.

Доказательство, что равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ является пропорцией

Снова используем исходное верное равенство:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Теперь вычтем из обеих частей равенства число 1.

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Представим 1 в виде дробей с соответствующими знаменателями, как и в предыдущем случае.

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

Выполнив вычитание дробей, получим:

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Таким образом, мы доказали, что из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует пропорция $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

Ответ: Доказано.

Составление двух новых пропорций из пропорции $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$

В данной пропорции $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ имеем: $a=2$, $b=3$, $c=10$ и $d=15$.

1. Используем первое доказанное свойство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:

Подставляем наши значения:

$\frac{2+3}{3} = \frac{10+15}{15}$

$\frac{5}{3} = \frac{25}{15}$

Это первая новая пропорция.

2. Используем второе доказанное свойство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:

Подставляем наши значения:

$\frac{2-3}{3} = \frac{10-15}{15}$

$\frac{-1}{3} = \frac{-5}{15}$

Это вторая новая пропорция.

Ответ: Две новые пропорции, составленные из исходной: $\frac{5}{3} = \frac{25}{15}$ и $\frac{-1}{3} = \frac{-5}{15}$.