Номер 323, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Еще раз о законах алгебры. Глава 3. Введение в алгебру - номер 323, страница 98.

323 Как известно, перемножить непосредственно можно только два числа. Поэтому для вычисления произведения $xyz$ (без изменения порядка множителей) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки, т.е. представить его как $(xy)z$ или как $x(yz)$.

Итак, в выражении $xyz$ можно поставить скобки двумя способами. А сколькими способами можно поставить скобки в выражении $xyzt$? Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

А сколькими способами можно поставить скобки в выражении xyzt?

Для вычисления произведения четырех множителей $xyzt$ необходимо последовательно выполнить три операции умножения. Поскольку операция умножения является бинарной (т.е. применяется к двум аргументам), порядок вычислений определяется расстановкой скобок. Перечислим все возможные способы, не меняя порядок самих множителей.

Способы расстановки скобок можно сгруппировать в зависимости от того, какая операция умножения выполняется последней:

• Если последнее действие — умножение первого множителя на произведение остальных трех: $x \cdot (yzt)$. Выражение в скобках $yzt$ можно вычислить двумя способами (как указано в условии задачи): $(yz)t$ или $y(zt)$. Это дает нам два варианта: $x((yz)t)$ и $x(y(zt))$.
• Если последнее действие — умножение произведения первых двух множителей на произведение последних двух: $(xy) \cdot (zt)$. Здесь порядок действий определен однозначно. Это дает один вариант: $(xy)(zt)$.
• Если последнее действие — умножение произведения первых трех множителей на последний: $(xyz) \cdot t$. Выражение в скобках $xyz$ можно вычислить двумя способами: $(xy)z$ или $x(yz)$. Это дает еще два варианта: $((xy)z)t$ и $(x(yz))t$.

Суммируя все варианты, получаем $2 + 1 + 2 = 5$ способов. Вот их полный список:

1. $((xy)z)t$
2. $(x(yz))t$
3. $(xy)(zt)$
4. $x((yz)t)$
5. $x(y(zt))$

Ответ: В выражении $xyzt$ можно поставить скобки пятью способами.

Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

Доказательство основано на сочетательном (ассоциативном) законе умножения, который гласит, что для любых чисел $a, b, c$ справедливо равенство $(ab)c = a(bc)$. Мы покажем, что все 5 полученных выражений равны, последовательно преобразуя одно в другое с помощью этого закона.

1. Начнем с выражения $((xy)z)t$. Применим сочетательный закон к выражению в первых скобках: $(xy)z = x(yz)$. Тогда исходное выражение станет равно $(x(yz))t$. Итак, $((xy)z)t = (x(yz))t$.
2. Теперь к выражению $(x(yz))t$ применим сочетательный закон, считая $a=x$, $b=(yz)$ и $c=t$. Получим $x((yz)t)$. Итак, $(x(yz))t = x((yz)t)$.
3. В выражении $x((yz)t)$ снова применим закон к части в скобках: $(yz)t = y(zt)$. В результате получим $x(y(zt))$. Итак, $x((yz)t) = x(y(zt))$.
4. Осталось связать с ними выражение $(xy)(zt)$. Вернемся к $((xy)z)t$. Применим сочетательный закон, считая $a=(xy)$, $b=z$ и $c=t$. Получим $(xy)(zt)$. Итак, $((xy)z)t = (xy)(zt)$.

Мы установили следующую цепь равенств: $((xy)z)t = (x(yz))t = x((yz)t) = x(y(zt))$. А также показали, что $((xy)z)t = (xy)(zt)$. Следовательно, все пять способов расстановки скобок приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Равенство всех выражений следует из сочетательного (ассоциативного) закона умножения, который позволяет произвольно группировать сомножители в произведении.