Номер 316, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Приведение подобных слагаемых. Глава 3. Введение в алгебру - номер 316, страница 94.

316 Лодка плыла некоторое время по течению реки и столько же времени против течения. Докажите, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.

Для доказательства введем следующие обозначения:

• $v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде);
• $v_т$ — скорость течения реки;
• $t$ — время, которое лодка плыла по течению, и, согласно условию, такое же время она плыла против течения.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме её собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_л + v_т$

Скорость лодки при движении против течения реки равна разности её собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_л - v_т$

Теперь найдем общее расстояние $S_{общ}$, которое проплыла лодка. Оно складывается из расстояния, пройденного по течению ($S_{по}$), и расстояния, пройденного против течения ($S_{против}$).

$S_{по} = v_{по} \cdot t = (v_л + v_т) \cdot t$

$S_{против} = v_{против} \cdot t = (v_л - v_т) \cdot t$

Общее расстояние равно:

$S_{общ} = S_{по} + S_{против} = (v_л + v_т) \cdot t + (v_л - v_т) \cdot t$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S_{общ} = v_л \cdot t + v_т \cdot t + v_л \cdot t - v_т \cdot t = 2 \cdot v_л \cdot t$

Общее время, которое лодка была в пути, составляет $T_{общ} = t + t = 2t$.

Теперь определим, сколько времени $T_{стоячая}$ потребуется лодке, чтобы проплыть то же самое общее расстояние $S_{общ}$ в стоячей воде. В стоячей воде скорость лодки равна её собственной скорости $v_л$.

$T_{стоячая} = \frac{S_{общ}}{v_л}$

Подставим в эту формулу полученное нами выражение для $S_{общ}$:

$T_{стоячая} = \frac{2 \cdot v_л \cdot t}{v_л}$

Сократив $v_л$ в числителе и знаменателе, получаем:

$T_{стоячая} = 2t$

Сравнивая общее время движения по реке $T_{общ} = 2t$ и время, необходимое для преодоления того же расстояния в стоячей воде $T_{стоячая} = 2t$, мы видим, что они равны: $T_{общ} = T_{стоячая}$.

Это доказывает, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.

Ответ: Утверждение доказано. Суммарное время движения по течению и против течения ($2t$) равно времени, необходимому для прохождения общего полученного расстояния в стоячей воде.