Номер 319, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Еще раз о законах алгебры. Глава 3. Введение в алгебру - номер 319, страница 96.

319 Как можно истолковать на «языке объёмов» равенство

$(xy)z = x(yz)$?

Равенство $(xy)z = x(yz)$ является математической записью сочетательного (ассоциативного) закона умножения. На «языке объёмов» это равенство можно истолковать через вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда.

Представим прямоугольный параллелепипед с измерениями (длиной, шириной и высотой) $x$, $y$ и $z$. Его объём $V$ можно вычислить, перемножив эти три величины.

Рассмотрим левую часть равенства: $(xy)z$.

• Сначала вычисляется произведение $S = xy$. Геометрически это площадь основания параллелепипеда — прямоугольника со сторонами $x$ и $y$.
• Затем эта площадь умножается на третье измерение, высоту $z$. Таким образом, $V = S \cdot z = (xy)z$. Это стандартная формула объёма: произведение площади основания на высоту.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $x(yz)$.

• Сначала вычисляется произведение $S' = yz$. Геометрически это площадь боковой грани параллелепипеда — прямоугольника со сторонами $y$ и $z$.
• Затем эта площадь умножается на первое измерение, длину $x$. Таким образом, $V = x \cdot S' = x(yz)$. В этом случае мы как бы «положили» параллелепипед на боковую грань и вычислили его объём, умножив площадь нового основания (бывшей боковой грани) на новую высоту (бывшую длину).

Поскольку объём одного и того же физического тела не меняется от того, с какой стороны мы на него посмотрим и какую грань выберем в качестве основания, то и результаты вычислений должны быть одинаковыми. Равенство $(xy)z = x(yz)$ как раз и утверждает, что объём прямоугольного параллелепипеда не зависит от способа его вычисления (то есть от порядка перемножения его измерений).

Ответ: Равенство $(xy)z = x(yz)$ на «языке объёмов» означает, что объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $x$, $y$ и $z$ не зависит от порядка вычисления: можно сначала найти площадь основания (грань со сторонами $x$ и $y$) и умножить на высоту $z$, а можно сначала найти площадь боковой грани (со сторонами $y$ и $z$) и умножить на ребро $x$. Результат будет идентичным, так как это объём одного и того же тела.