Номер 317, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Еще раз о законах алгебры. Глава 3. Введение в алгебру - номер 317, страница 96.

317 Верно ли, что $(x - y)z = xz - yz$? Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Верно ли, что $(x-y)z = xz - yz$?

Да, данное равенство верно. Оно является проявлением распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно вычитания. Чтобы это доказать, достаточно раскрыть скобки в левой части равенства, умножив каждый член в скобках на $z$:

$(x - y)z = x \cdot z - y \cdot z = xz - yz$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью равенства, что доказывает его истинность для любых чисел $x, y, z$.

Ответ: да, равенство верно.

Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Чтобы дать геометрическую интерпретацию, представим, что $x, y, z$ — это длины сторон прямоугольников. Для того чтобы все длины были положительными, будем считать, что $x > y > 0$ и $z > 0$.

1. Рассмотрим большой прямоугольник со сторонами $x$ и $z$. Его площадь $S_1$ равна $xz$.

2. Внутри этого прямоугольника, на стороне длиной $x$, отложим отрезок длиной $y$. Оставшаяся часть этой стороны будет иметь длину $x-y$.

3. Проведем линию, разделяющую большой прямоугольник на два меньших. Мы получим:

• Прямоугольник со сторонами $y$ и $z$. Его площадь $S_2$ равна $yz$.
• Прямоугольник со сторонами $(x-y)$ и $z$. Его площадь $S_3$ равна $(x-y)z$.

Площадь большого прямоугольника $S_1$ равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит: $S_1 = S_2 + S_3$, или $xz = yz + (x-y)z$.

Если из площади большого прямоугольника ($xz$) вычесть площадь одного из меньших ($yz$), то останется площадь второго меньшего прямоугольника ($(x-y)z$).

Таким образом, равенство $(x-y)z = xz - yz$ на «языке площадей» означает, что площадь прямоугольника со сторонами $(x-y)$ и $z$ равна разности площадей прямоугольника со сторонами $x, z$ и прямоугольника со сторонами $y, z$.

Ответ: Если из прямоугольника площадью $xz$ вырезать прямоугольник площадью $yz$ (имеющий общую сторону $z$), то площадь оставшейся фигуры будет равна $(x-y)z$.