Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

12 Какое из выражений можно использовать для вычисления площади фигуры, изображённой на рисунке?

1) $ab - cd$

2) $ab - 2cd$

3) $ab - 3cd$

4) $ab - 2c \cdot 2d$

Для нахождения площади представленной фигуры можно использовать метод дополнения. Суть метода заключается в том, чтобы достроить фигуру до простого прямоугольника, вычислить его площадь, а затем вычесть площадь "достроенной" (незакрашенной) части.

1. Достроим фигуру до большого прямоугольника. Его стороны будут равны $a$ и $b$, как указано на рисунке. Площадь этого большого прямоугольника вычисляется по формуле:$S_{полн} = a \cdot b$

2. Теперь найдем площадь незакрашенной части, которая была "вырезана" из левого верхнего угла большого прямоугольника. Эта незакрашенная область имеет форму буквы "Г" или ступенчатую форму. Её можно разбить на два простых прямоугольника для удобства вычисления площади.

• Один прямоугольник — верхний. Его высота равна $d$. Его ширина равна сумме двух горизонтальных отрезков по $c$, то есть $c+c=2c$. Площадь этого прямоугольника: $S_1 = 2c \cdot d = 2cd$.
• Другой прямоугольник — нижний левый. Его высота равна $d$, а ширина равна $c$. Площадь этого прямоугольника: $S_2 = c \cdot d = cd$.

Чтобы избежать двойного счета, давайте разделим незакрашенную область по-другому. Разделим ее вертикальной линией.
• Левый прямоугольник: его ширина $c$, а высота состоит из двух отрезков по $d$, то есть $d+d=2d$. Его площадь $S_{левый} = c \cdot 2d = 2cd$.
• Правый прямоугольник: его ширина $c$, а высота $d$. Его площадь $S_{правый} = c \cdot d = cd$.

Общая площадь незакрашенной части равна сумме площадей этих двух прямоугольников:$S_{незакр} = S_{левый} + S_{правый} = 2cd + cd = 3cd$

3. Наконец, чтобы найти площадь закрашенной фигуры, вычтем площадь незакрашенной части из площади полного прямоугольника:$S_{фигуры} = S_{полн} - S_{незакр} = ab - 3cd$

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $ab - 3cd$

13 Приведите подобные слагаемые: $xy + 3yz - 2xy - yz.$

Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $xy + 3yz - 2xy - yz$, необходимо сгруппировать члены с одинаковой буквенной частью и сложить их коэффициенты.

1. Находим и группируем подобные слагаемые. В данном выражении есть две группы подобных членов:

• Первая группа с буквенной частью $xy$: это $xy$ и $-2xy$.
• Вторая группа с буквенной частью $yz$: это $3yz$ и $-yz$.

Сгруппируем выражение следующим образом:

$(xy - 2xy) + (3yz - yz)$

2. Теперь выполним сложение и вычитание коэффициентов в каждой группе. Помним, что если коэффициент не написан (как у $xy$ и $-yz$), он равен $1$ и $-1$ соответственно.

Для группы с $xy$: $1 - 2 = -1$. Таким образом, $xy - 2xy = -xy$.

Для группы с $yz$: $3 - 1 = 2$. Таким образом, $3yz - yz = 2yz$.

3. Запишем итоговый результат, объединив полученные упрощенные члены:

$-xy + 2yz$

Для удобства можно поменять слагаемые местами, чтобы выражение начиналось с положительного члена:

$2yz - xy$

Ответ: $2yz - xy$

14 Упростите выражение $2(2a - 1) - 3(a + 1) + 1$.

Для того чтобы упростить выражение $2(2a - 1) - 3(a + 1) + 1$, необходимо сначала раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок:

$2 \cdot (2a - 1) = 2 \cdot 2a + 2 \cdot (-1) = 4a - 2$

$-3 \cdot (a + 1) = -3 \cdot a - 3 \cdot 1 = -3a - 3$

2. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$2(2a - 1) - 3(a + 1) + 1 = (4a - 2) + (-3a - 3) + 1 = 4a - 2 - 3a - 3 + 1$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $a$ и числовые слагаемые (константы).

$(4a - 3a) + (-2 - 3 + 1)$

4. Выполним вычисления в каждой группе:

$4a - 3a = a$

$-2 - 3 + 1 = -5 + 1 = -4$

5. Соединим полученные части, чтобы получить окончательный упрощенный вид выражения:

$a - 4$

Ответ: $a - 4$.

15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении $a - (2b - (2a - 2(b + a)))$.

1) $a - 4b$
2) $a$
3) $-3a - 4b$
4) $a + 4b$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно раскрыть скобки, двигаясь от внутренних к внешним, и затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $a - (2b - (2a - 2(b + a)))$.

1. Начнем с раскрытия самых внутренних скобок $2(b + a)$. Для этого умножим 2 на каждое слагаемое в скобках:

$2(b + a) = 2 \cdot b + 2 \cdot a = 2b + 2a$

Теперь подставим полученное выражение обратно:

$a - (2b - (2a - (2b + 2a)))$

2. Далее раскроем скобки в выражении $(2a - (2b + 2a))$. Так как перед скобкой стоит знак «минус», мы меняем знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$2a - (2b + 2a) = 2a - 2b - 2a$

Теперь приведем подобные слагаемые в этой части. Слагаемые $2a$ и $-2a$ взаимно уничтожаются:

$(2a - 2a) - 2b = 0 - 2b = -2b$

После этого преобразования исходное выражение принимает вид:

$a - (2b - (-2b))$

3. Теперь раскроем скобки в выражении $(2b - (-2b))$. Минус на минус дает плюс:

$2b - (-2b) = 2b + 2b = 4b$

Подставим результат в наше выражение:

$a - (4b)$

4. На последнем шаге раскрываем оставшиеся скобки. Перед скобкой стоит знак «минус», поэтому:

$a - 4b$

Больше упростить выражение нельзя. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 1.

Ответ: $a - 4b$

16 Принтер A печатает со скоростью $n$ страниц в минуту. Скорость принтера B в $2$ раза больше скорости принтера A, а скорость принтера C в $1.5$ раза больше скорости принтера B. На каждом из них надо распечатать $50$ страниц научного отчёта. Принтеры включили одновременно. Через $3$ мин после включения работа была ещё не закончена. Сколько всего страниц отчёта осталось распечатать к этому моменту?

Для решения задачи выполним последовательные вычисления.

1. Определение скоростей печати каждого принтера

Обозначим скорости принтеров A, B и C как $V_A$, $V_B$ и $V_C$ соответственно.
- Скорость принтера A по условию составляет $V_A = n$ страниц в минуту.
- Скорость принтера B в 2 раза больше скорости принтера A: $V_B = 2 \times V_A = 2n$ страниц в минуту.
- Скорость принтера C в 1,5 раза больше скорости принтера B: $V_C = 1.5 \times V_B = 1.5 \times (2n) = 3n$ страниц в минуту.

2. Расчет количества напечатанных страниц за 3 минуты

Все принтеры работали одновременно в течение 3 минут. Найдем, сколько страниц напечатал каждый из них за это время.
- Принтер A напечатал: $3 \text{ мин} \times n \frac{\text{стр}}{\text{мин}} = 3n$ страниц.
- Принтер B напечатал: $3 \text{ мин} \times 2n \frac{\text{стр}}{\text{мин}} = 6n$ страниц.
- Принтер C напечатал: $3 \text{ мин} \times 3n \frac{\text{стр}}{\text{мин}} = 9n$ страниц.

3. Расчет общего количества напечатанных и оставшихся страниц

Найдем общее количество страниц, напечатанных всеми тремя принтерами.
$N_{напечатано} = 3n + 6n + 9n = 18n$ страниц.
Изначально на каждом из трех принтеров нужно было распечатать по 50 страниц, то есть общее задание составляло:
$N_{всего} = 3 \times 50 = 150$ страниц.
Чтобы найти, сколько всего страниц отчёта осталось распечатать, вычтем из общего количества страниц количество уже напечатанных:
$N_{осталось} = N_{всего} - N_{напечатано} = 150 - 18n$ страниц.

Ответ: к этому моменту осталось распечатать $150 - 18n$ страниц.