Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения чисел.

Основные свойства сложения и умножения чисел включают переместительное, сочетательное и распределительное свойства.

Переместительное свойство сложения

Это свойство также называют коммутативным. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел a и b верно следующее равенство:

Ответ: $a + b = b + a$

Сочетательное свойство сложения

Это свойство также называют ассоциативным. Оно позволяет группировать слагаемые в любом порядке. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Для любых чисел a, b и c верно следующее равенство:

Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Переместительное свойство умножения

Это свойство также называют коммутативным. Оно гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел a и b верно следующее равенство:

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

Сочетательное свойство умножения

Это свойство также называют ассоциативным. Оно позволяет группировать множители в любом порядке. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Для любых чисел a, b и c верно следующее равенство:

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Это свойство также называют дистрибутивным. Оно связывает операции сложения и умножения. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых чисел a, b и c верно следующее равенство:

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

2 На основании каких законов можно утверждать, что выполняется равенство:

а) $-2a - c + 3y = 3y - 2a - c;$

б) $2a \cdot (-3c) = -6ac;$

в) $5(x - y) = 5x - 5y?$

а) Равенство $-2a - c + 3y = 3y - 2a - c$ выполняется на основании переместительного закона сложения. Этот закон гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В данном выражении слагаемые ($-2a$, $-c$ и $3y$) в левой и правой частях равенства идентичны, но записаны в разном порядке.
Формула переместительного закона для двух слагаемых: $A+B=B+A$. Для трех слагаемых: $A+B+C = C+A+B$.
Ответ: переместительный закон сложения.

б) Равенство $2a \cdot (-3c) = -6ac$ выполняется на основании сочетательного и переместительного законов умножения.
Переместительный закон умножения ($A \cdot B = B \cdot A$) позволяет менять множители местами.
Сочетательный закон умножения ($A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$) позволяет произвольно группировать множители.
Используя эти законы, мы можем перегруппировать и перемножить сначала числовые коэффициенты, а затем переменные:
$2a \cdot (-3c) = 2 \cdot a \cdot (-3) \cdot c = (2 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot c) = -6ac$.
Ответ: сочетательный и переместительный законы умножения.

в) Равенство $5(x - y) = 5x - 5y$ выполняется на основании распределительного закона умножения относительно вычитания. Этот закон также известен как "раскрытие скобок". Он гласит, что для умножения числа на разность, нужно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое по отдельности, а затем вычесть второе произведение из первого.
Формула распределительного закона: $A(B-C) = AB - AC$.
В данном случае $A=5$, $B=x$ и $C=y$, поэтому $5(x-y) = 5 \cdot x - 5 \cdot y = 5x - 5y$.
Ответ: распределительный закон умножения.

3. Чему равен коэффициент в каждом из произведений: $-7ab$; $\frac{2}{3}x^2$; $mn$; $-xyz$?

Коэффициент — это числовой множитель в алгебраическом выражении, который стоит перед буквенной частью.

$-7ab$

В данном произведении буквенная часть — это $ab$. Число, на которое она умножается, — это $-7$. Следовательно, это и есть коэффициент.

Ответ: $-7$

$\frac{2}{3}x^2$

В этом выражении буквенная часть — это $x^2$. Числовой множитель, стоящий перед ней, — это дробь $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

$mn$

В произведении $mn$ буквенная часть — это $mn$. Когда перед буквенной частью явно не указан числовой множитель, подразумевается, что он равен $1$. Это потому, что любое выражение, умноженное на $1$, равно самому себе: $1 \cdot mn = mn$.

Ответ: $1$

$-xyz$

Здесь буквенная часть — это $xyz$. Знак "минус" перед буквенным выражением без явного числового множителя означает, что коэффициент равен $-1$. То есть, $-xyz$ — это то же самое, что и $-1 \cdot xyz$.

Ответ: $-1$

4 Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «-». Покажите их применение на примерах.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобках. Это правило можно записать в виде формулы: $a + (b + c) = a + b + c$ или $a + (b - c) = a + b - c$. Фактически, мы умножаем каждое слагаемое в скобках на $+1$, что не меняет их знаков.

Применение на примерах:

1. Раскроем скобки в выражении $12 + (5 - 2)$.
Поскольку перед скобкой стоит знак «+», мы просто убираем скобки, сохраняя знаки чисел внутри: $12 + (5 - 2) = 12 + 5 - 2 = 17 - 2 = 15$.

2. Раскроем скобки в выражении $x + (-y + z)$.
Аналогично, убираем скобки и знак «+» перед ними, знаки слагаемых $y$ и $z$ не меняются: $x + (-y + z) = x - y + z$.

3. Раскроем скобки в выражении $5a + (2b - c + 8)$.
$5a + (2b - c + 8) = 5a + 2b - c + 8$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить эти скобки и стоящий перед ними знак «+», а все слагаемые в скобках записать с их собственными знаками.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобках, на противоположный («+» на «-», а «-» на «+»). Это правило можно записать в виде формулы: $a - (b + c) = a - b - c$ или $a - (b - c) = a - b + c$. Фактически, мы умножаем каждое слагаемое в скобках на $-1$.

Применение на примерах:

1. Раскроем скобки в выражении $20 - (10 + 3)$.
Перед скобкой стоит знак «-», поэтому мы убираем скобки и меняем знаки у $10$ (был «+», стал «-») и у $3$ (был «+», стал «-»): $20 - (10 + 3) = 20 - 10 - 3 = 10 - 3 = 7$.

2. Раскроем скобки в выражении $x - (y - z)$.
Убираем скобки и меняем знаки у слагаемых внутри: $y$ становится $-y$, а $-z$ становится $+z$: $x - (y - z) = x - y + z$.

3. Раскроем скобки в выражении $7a - (2b - c + 4)$.
Меняем знаки у всех слагаемых в скобках на противоположные: $7a - (2b - c + 4) = 7a - 2b + c - 4$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно опустить эти скобки и стоящий перед ними знак «-», а все слагаемые в скобках записать с противоположными знаками.

5 Сформулируйте правило раскрытия скобок в произведении. Покажите его применение для раскрытия скобок на примере произведения $x(2a - b + c)$.

Правило раскрытия скобок в произведении

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит множитель, нужно этот множитель умножить на каждое слагаемое, стоящее в скобках. Полученные произведения затем складываются с учётом их знаков. Это правило называется распределительным законом умножения относительно сложения и вычитания.

В общем виде это можно записать так: $m(a + b - c) = ma + mb - mc$.

Ответ: Чтобы умножить множитель на сумму (или разность) в скобках, необходимо этот множитель умножить на каждый член в скобках и полученные произведения алгебраически сложить.

Применение правила на примере $x(2a - b + c)$

Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $x(2a - b + c)$, мы используем сформулированное выше правило. Множитель перед скобками — это $x$. Слагаемые внутри скобок — это $2a$, $-b$ и $c$.

Умножим множитель $x$ на каждый член в скобках поочередно:

$x(2a - b + c) = x \cdot (2a) + x \cdot (-b) + x \cdot (c)$

Выполним действия умножения:

• $x \cdot (2a) = 2ax$
• $x \cdot (-b) = -bx$
• $x \cdot (c) = cx$

Теперь сложим полученные произведения:

$2ax + (-bx) + cx = 2ax - bx + cx$

Ответ: $2ax - bx + cx$

6 Какие слагаемые называют подобными? Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере выражения $5a - 4a + a - 6$.

Какие слагаемые называют подобными?
Подобными слагаемыми называют члены алгебраического выражения, имеющие одинаковую буквенную часть. Подобные слагаемые могут отличаться друг от друга только числовыми коэффициентами. Слагаемые, не имеющие буквенной части (просто числа), также считаются подобными между собой.

Правило приведения подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения, при котором выполняется сложение или вычитание подобных членов. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть. Эта операция основана на распределительном свойстве умножения: $k \cdot a + m \cdot a = (k + m) \cdot a$.

Пояснение на примере выражения $5a - 4a + a - 6$
Рассмотрим выражение $5a - 4a + a - 6$.
1. Находим в выражении подобные слагаемые. В данном случае это слагаемые, содержащие переменную $a$: $5a$, $-4a$ и $a$. У них общая буквенная часть $a$. Число $-6$ не имеет буквенной части и не является подобным для других членов этого выражения.
2. Применяем правило приведения подобных слагаемых. Для этого выносим общую буквенную часть $a$ за скобки, а в скобках складываем коэффициенты: $5$, $-4$ и $1$ (коэффициент слагаемого $a$ равен $1$, так как $a = 1 \cdot a$).
$5a - 4a + a - 6 = (5 - 4 + 1) \cdot a - 6$
3. Вычисляем сумму коэффициентов в скобках:
$5 - 4 + 1 = 1 + 1 = 2$
4. Умножаем полученное число на общую буквенную часть и дописываем оставшийся член выражения:
$2 \cdot a - 6 = 2a - 6$
Таким образом, после приведения подобных слагаемых выражение упрощается до $2a - 6$.
Ответ: $2a - 6$.

1 Упростите выражение:

а) $y \cdot (-2a) \cdot (-3b)$;

б) $2xy \cdot 7xz$;

в) $5ab \cdot (-0,2b)$.

а) Чтобы упростить выражение $y \cdot (-2a) \cdot (-3b)$, нужно перемножить числовые коэффициенты и переменные. Для этого сгруппируем множители:

$y \cdot (-2a) \cdot (-3b) = (-2 \cdot -3) \cdot (y \cdot a \cdot b)$

Сначала перемножим числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$(-2) \cdot (-3) = 6$

Затем перемножим переменные, расположив их в алфавитном порядке для стандартной записи:

$y \cdot a \cdot b = aby$

Объединим результаты, чтобы получить итоговое выражение:

$6aby$

Ответ: $6aby$

б) Чтобы упростить выражение $2xy \cdot 7xz$, перемножим сначала числовые коэффициенты, а затем переменные.

$2xy \cdot 7xz = (2 \cdot 7) \cdot (x \cdot y \cdot x \cdot z)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$2 \cdot 7 = 14$

Теперь перемножим переменные. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x = x^1$):

$x \cdot y \cdot x \cdot z = (x \cdot x) \cdot y \cdot z = x^{1+1}yz = x^2yz$

Соединим числовую и буквенную части:

$14x^2yz$

Ответ: $14x^2yz$

в) Для упрощения выражения $5ab \cdot (-0,2b)$ выполним умножение коэффициентов и переменных по отдельности.

$5ab \cdot (-0,2b) = (5 \cdot -0,2) \cdot (a \cdot b \cdot b)$

Найдем произведение числовых коэффициентов:

$5 \cdot (-0,2) = -1$

Далее перемножим переменные, группируя одинаковые:

$a \cdot (b \cdot b) = a \cdot b^{1+1} = ab^2$

Объединим полученные результаты. Коэффициент $-1$ перед буквенным выражением обычно не пишется, остается только знак "минус":

$-1 \cdot ab^2 = -ab^2$

Ответ: $-ab^2$

2. Приведите подобные слагаемые:

а) $3x - x + 7x - 3x;$

б) $2b - a + 4b - 7a + 7.$

а)

Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $3x - x + 7x - 3x$, необходимо найти члены с одинаковой буквенной частью и выполнить с их коэффициентами указанные арифметические действия.

В данном выражении все слагаемые ($3x$, $-x$, $7x$, $-3x$) являются подобными, так как имеют общую буквенную часть $x$. Для упрощения выражения сложим их коэффициенты.

Вынесем общую буквенную часть за скобки:

$3x - x + 7x - 3x = (3 - 1 + 7 - 3)x$

Вычислим значение в скобках:

$3 - 1 = 2$

$2 + 7 = 9$

$9 - 3 = 6$

Таким образом, выражение равно $6x$.

Также можно сгруппировать слагаемые для упрощения вычислений. Например, $3x$ и $-3x$ в сумме дают ноль:

$(3x - 3x) + (-x + 7x) = 0 + 6x = 6x$

Ответ: $6x$

б)

В выражении $2b - a + 4b - 7a + 7$ есть несколько групп подобных слагаемых. Сгруппируем их по буквенной части.

1. Слагаемые, содержащие переменную $a$: $-a$ и $-7a$.
2. Слагаемые, содержащие переменную $b$: $2b$ и $4b$.
3. Свободный член (константа): $7$.

Сгруппируем выражение для наглядности:

$(2b + 4b) + (-a - 7a) + 7$

Теперь выполним действия в каждой группе подобных слагаемых:

Для слагаемых с $b$:
$2b + 4b = (2 + 4)b = 6b$

Для слагаемых с $a$:
$-a - 7a = (-1 - 7)a = -8a$

Свободный член $7$ остается без изменений.

Теперь объединим полученные результаты. Для стандартной записи многочлена расположим слагаемые в алфавитном порядке переменных:

$-8a + 6b + 7$

Ответ: $-8a + 6b + 7$

3 Составьте выражение по условию задачи:

а) В одном ведре $x$ л воды, в другом – на 3 л больше, а в третьем – на 4 л меньше, чем в первом. Сколько литров воды в трёх вёдрах?

б) Одна сторона прямоугольника $l$ см, а другая – на $m$ см больше. Чему равен периметр прямоугольника?

а)

Для составления выражения определим количество воды в каждом из трёх вёдер:
- В первом ведре находится $x$ литров воды.
- Во втором ведре на 3 литра больше, чем в первом, следовательно, его объём составляет $x + 3$ литров.
- В третьем ведре на 4 литра меньше, чем в первом, следовательно, его объём составляет $x - 4$ литров.

Чтобы найти общее количество воды в трёх вёдрах, необходимо сложить объёмы воды из каждого ведра. Составим сумму:
$x + (x + 3) + (x - 4)$

Теперь упростим полученное выражение. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$x + x + 3 + x - 4 = (x + x + x) + (3 - 4) = 3x - 1$

Ответ: $3x - 1$

б)

Определим длины сторон прямоугольника по условию задачи:
- Длина одной стороны равна $l$ см.
- Длина другой стороны на $m$ см больше, то есть она равна $l + m$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) равен удвоенной сумме его смежных сторон. Формула для расчёта периметра: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.
Подставим в формулу значения длин сторон нашего прямоугольника:
$P = 2 \cdot (l + (l + m))$

Упростим полученное выражение:
$P = 2 \cdot (l + l + m) = 2 \cdot (2l + m) = 4l + 2m$

Ответ: $4l + 2m$

4 Найдите значение выражения $2a + 3 - 1,5a + 0,5$ при $a = -3; 0; 4.$

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, сгруппировав и сложив подобные слагаемые (члены с переменной a и числовые члены):

$2a + 3 - 1.5a + 0.5 = (2a - 1.5a) + (3 + 0.5) = 0.5a + 3.5$

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значения для каждого из заданных a.

При a = -3:

Подставляем значение $a = -3$ в упрощенное выражение $0.5a + 3.5$:

$0.5 \cdot (-3) + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$

Ответ: 2

При a = 0:

Подставляем значение $a = 0$ в выражение $0.5a + 3.5$:

$0.5 \cdot 0 + 3.5 = 0 + 3.5 = 3.5$

Ответ: 3,5

При a = 4:

Подставляем значение $a = 4$ в выражение $0.5a + 3.5$:

$0.5 \cdot 4 + 3.5 = 2 + 3.5 = 5.5$

Ответ: 5,5

5. Упростите выражение:

a) $4a + (a + b) - (2a + 3b)$;

б) $2(x + 3y) - 3(3x - y)$.

а) Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо сначала раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $4a + (a + b) - (2a + 3b)$.

1. Раскрываем скобки. Если перед скобкой стоит знак "+", то знаки слагаемых в скобках сохраняются. Если перед скобкой стоит знак "-", то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$4a + a + b - 2a - 3b$

2. Группируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(4a + a - 2a) + (b - 3b)$

3. Выполняем действия с коэффициентами подобных слагаемых:

$(4 + 1 - 2)a + (1 - 3)b = 3a + (-2)b = 3a - 2b$

Ответ: $3a - 2b$

б) Для упрощения этого выражения мы применим распределительный закон умножения, чтобы раскрыть скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $2(x + 3y) - 3(3x - y)$.

1. Раскрываем первую скобку, умножая 2 на каждый член внутри скобки:

$2 \cdot x + 2 \cdot 3y = 2x + 6y$

2. Раскрываем вторую скобку, умножая -3 на каждый член внутри скобки:

$(-3) \cdot 3x + (-3) \cdot (-y) = -9x + 3y$

3. Соединяем полученные результаты:

$2x + 6y - 9x + 3y$

4. Группируем подобные слагаемые:

$(2x - 9x) + (6y + 3y)$

5. Выполняем действия с коэффициентами:

$(2 - 9)x + (6 + 3)y = -7x + 9y$

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами: $9y - 7x$.

Ответ: $9y - 7x$