Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

В чём заключается первый шаг составления уравнения по условию задачи?

Первый и самый важный шаг в составлении уравнения по условию задачи — это анализ условия и введение переменной. Этот шаг является фундаментом для всего последующего решения. Он заключается в том, чтобы перевести словесное описание задачи на язык математики.

Более подробно этот шаг можно разбить на следующие действия:

• Внимательно прочитать и понять условие задачи. Необходимо разобраться, о каких величинах идет речь, какие из них известны, а какую или какие требуется найти. Важно уловить взаимосвязи между величинами, описанные в задаче (например, "на 5 больше", "в 2 раза меньше", "скорость первого на 10 км/ч выше скорости второго" и т.д.).
• Выбрать неизвестную величину и обозначить её переменной. Как правило, переменной (чаще всего используют букву $x$) обозначают ту величину, которую просят найти в вопросе задачи. Иногда бывает удобнее обозначить переменной не основную искомую величину, а другую, связанную с ней, например, наименьшую из сравниваемых величин. Это может упростить вид будущего уравнения.
• Определить, что именно означает переменная. Нужно четко для себя (и для решения) зафиксировать, что именно вы обозначили через $x$, указав при необходимости единицы измерения. Например: "Пусть $x$ (кг) — масса яблок в первой корзине" или "Пусть $x$ (км) — расстояние, которое прошел турист в первый день".

Пример:

Рассмотрим задачу: "В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда из первого бидона перелили во второй 5 литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?"

Применение первого шага:

1. Анализ: В задаче речь идет о количестве молока в двух бидонах. Есть зависимость: в одном "в 3 раза больше". Искать нужно первоначальное количество молока в каждом бидоне.

2. Выбор переменной: У нас две неизвестные величины — количество молока в первом и во втором бидоне. Удобнее за $x$ обозначить меньшую из них, то есть количество молока во втором бидоне.

3. Введение и описание переменной: Пусть $x$ литров — количество молока во втором бидоне первоначально. Тогда в первом бидоне было $3x$ литров молока.

После выполнения этого первого шага можно переходить к следующему этапу — составлению самого уравнения на основе дальнейших условий задачи ($3x - 5 = x + 5$).

Ответ: Первый шаг составления уравнения по условию задачи заключается в том, чтобы выбрать одну из неизвестных величин, содержащихся в условии, и обозначить её какой-либо буквой (переменной), а затем выразить через эту переменную остальные неизвестные величины, если они есть.

Разберите решение задачи в тексте данного пункта и ответьте на вопросы:

а) Какая величина обозначена буквой $x$?

б) Какое выражение означает возраст старших близнецов в 2010 г.? Какое выражение означает возраст, которого достигли в 2012 г. младшие близнецы? старшие близнецы?

в) Запишите выражение, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма?

г) Что в соответствии с условием задачи означает найденное значение $x$? Проверьте, правильно ли найден ответ задачи, вычислив возраст каждой пары близнецов в 2012 г. и их суммарный возраст.

Поскольку условие самой задачи не приведено, для ответа на вопросы мы реконструируем наиболее вероятный сценарий. Обычно в таких задачах есть две пары близнецов (младшие и старшие) с известной разницей в возрасте, и требуется найти их возраст на основе суммарного возраста в определенный год. Давайте предположим, что старшие близнецы на 3 года старше младших, а в 2012 году их суммарный возраст составил 50 лет.

а) Какая величина обозначена буквой x?

В алгебраических задачах переменной x, как правило, обозначают искомую или базовую величину, от которой отталкиваются в решении. В данном контексте наиболее логично предположить, что x — это возраст младших близнецов в начальный момент времени, то есть в 2010 году.

Ответ: Буквой x обозначен возраст младших близнецов в 2010 г.

б) Какое выражение означает возраст старших близнецов в 2010 г.? Какое выражение означает возраст, которого достигли в 2012 г. младшие близнецы? старшие близнецы?

Исходя из нашего предположения, что старшие близнецы на 3 года старше, а x — возраст младших в 2010 г.:

• Возраст старших близнецов в 2010 г. будет на 3 года больше, чем у младших, то есть $x + 3$.

Между 2010 и 2012 годами прошло 2 года, значит, возраст каждого из близнецов увеличился на 2.

• Возраст младших близнецов в 2012 г.: $x + 2$.

• Возраст старших близнецов в 2012 г.: их возраст в 2010 году был $x + 3$, следовательно, в 2012 году он стал $(x + 3) + 2 = x + 5$.

Ответ: Выражение для возраста старших близнецов в 2010 г. — $x + 3$. Выражение для возраста младших близнецов в 2012 г. — $x + 2$. Выражение для возраста старших близнецов в 2012 г. — $x + 5$.

в) Запишите выражение, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма?

Суммарный возраст всех четырех близнецов в 2012 г. складывается из возрастов двух младших и двух старших близнецов. Используем выражения, полученные в пункте б):

• Суммарный возраст двух младших близнецов: $2 \cdot (x + 2)$.

• Суммарный возраст двух старших близнецов: $2 \cdot (x + 5)$.

Выражение для общего суммарного возраста: $2(x + 2) + 2(x + 5)$.

Упростим его: $2x + 4 + 2x + 10 = 4x + 14$.

Согласно нашему предположению, суммарный возраст близнецов в 2012 году равен 50. Именно этому числу и будет равна записанная сумма, что позволяет составить уравнение для нахождения x.

Ответ: Выражение, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г., — это $2(x + 2) + 2(x + 5)$. Записанная сумма равна 50.

г) Что в соответствии с условием задачи означает найденное значение x? Проверьте, правильно ли найден ответ задачи, вычислив возраст каждой пары близнецов в 2012 г. и их суммарный возраст.

Для нахождения x решим уравнение, составленное на основе данных из предыдущего пункта:

$4x + 14 = 50$

$4x = 50 - 14$

$4x = 36$

$x = 9$

Найденное значение $x = 9$ в соответствии с нашим определением переменной (пункт а) означает, что в 2010 году младшим близнецам было 9 лет.

Проверка:

1. Если в 2010 г. младшим близнецам было 9 лет, то старшим было $9 + 3 = 12$ лет.

2. Вычислим возраст каждой пары в 2012 г.:

• Возраст младших близнецов: $9 + 2 = 11$ лет.

• Возраст старших близнецов: $12 + 2 = 14$ лет.

3. Вычислим их суммарный возраст в 2012 г.:

$2 \cdot 11 + 2 \cdot 14 = 22 + 28 = 50$ лет.

Полученный результат (50 лет) совпадает с суммой, данной в условии нашей реконструированной задачи. Это подтверждает, что значение x найдено верно.

Ответ: Найденное значение $x=9$ означает, что в 2010 году младшим близнецам было 9 лет. Проверка показала, что при данном значении x возраст младших близнецов в 2012 году составляет 11 лет, старших — 14 лет, а их суммарный возраст равен 50 годам, что соответствует условию и подтверждает правильность решения.

336 a) В двух вагонах поезда 86 человек, причём в первом на 14 человек меньше, чем во втором. Сколько человек в каждом вагоне?

б) В двух классах 60 человек. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если девочек на 6 больше, чем мальчиков?

а)

Для решения этой задачи можно составить уравнение. Пусть $x$ — количество человек во втором вагоне. По условию, в первом вагоне на 14 человек меньше, значит, в первом вагоне $(x - 14)$ человек. Всего в двух вагонах 86 человек. Составим уравнение:

$x + (x - 14) = 86$

Решим это уравнение:

$2x - 14 = 86$

$2x = 86 + 14$

$2x = 100$

$x = 100 \div 2$

$x = 50$

Таким образом, во втором вагоне 50 человек. Теперь найдем количество человек в первом вагоне:

$50 - 14 = 36$ (человек)

Проверка: $50 + 36 = 86$ человек. Условие выполняется.

Ответ: в первом вагоне 36 человек, а во втором 50 человек.

б)

Пусть $y$ — количество мальчиков в двух классах. По условию, девочек на 6 больше, значит, девочек $(y + 6)$. Всего в двух классах 60 человек. Составим уравнение:

$y + (y + 6) = 60$

Решим это уравнение:

$2y + 6 = 60$

$2y = 60 - 6$

$2y = 54$

$y = 54 \div 2$

$y = 27$

Итак, в классах было 27 мальчиков. Теперь найдем количество девочек:

$27 + 6 = 33$ (девочки)

Проверка: $27 + 33 = 60$ человек. Условие выполняется.

Ответ: в классах 27 мальчиков и 33 девочки.