Страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Определите, каким правилом преобразования уравнений надо воспользоваться, чтобы решить уравнение, и решите его:

а) $8 + x = -17;$ б) $x - 7 = 9;$ в) $-15x = 90;$ г) $\frac{1}{8}x = 2.$

а) Для решения уравнения $8 + x = -17$ используется правило переноса слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно перенести известное слагаемое (число 8) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

$8 + x = -17$
$x = -17 - 8$
$x = -25$
Проверка: $8 + (-25) = 8 - 25 = -17$. Верно.
Ответ: -25

б) Для решения уравнения $x - 7 = 9$ также используется правило переноса слагаемых. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно перенести вычитаемое (число -7) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный (с минуса на плюс).

$x - 7 = 9$
$x = 9 + 7$
$x = 16$
Проверка: $16 - 7 = 9$. Верно.
Ответ: 16

в) Для решения уравнения $-15x = 90$ используется правило деления обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (число 90) разделить на известный множитель (число -15). Это равносильно делению обеих частей уравнения на -15.

$-15x = 90$
$x = \frac{90}{-15}$
$x = -6$
Проверка: $-15 \cdot (-6) = 90$. Верно.
Ответ: -6

г) Для решения уравнения $\frac{1}{8}x = 2$ используется правило умножения обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (число 2) разделить на известный множитель (дробь $\frac{1}{8}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на 8. Таким образом, мы умножаем обе части уравнения на 8.

$\frac{1}{8}x = 2$
$x = 2 \div \frac{1}{8}$
$x = 2 \cdot 8$
$x = 16$
Проверка: $\frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{16}{8} = 2$. Верно.
Ответ: 16

Решите уравнение и прокомментируйте каждый шаг, ссылаясь на нужное правило преобразования уравнений:

а) $5x - 11 = 2x + 1;$

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 1.$

(Возьмите в качестве образца для а) пример 2, для б) пример 3.)

а) $5x - 11 = 2x + 1$

1. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые (константы) — в правую. Для этого перенесем $2x$ из правой части в левую и $-11$ из левой части в правую, изменив их знаки на противоположные. Это преобразование основано на правиле: если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному (имеющее те же корни).

$5x - 2x = 1 + 11$

2. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые в каждой части уравнения.

$3x = 12$

3. Найдем корень уравнения, разделив обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 3. Это преобразование основано на правиле: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Ответ: $4$.

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 1$

1. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 6. НОК(2, 6) = 6. Данное действие опирается на правило: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{x}{6}) = 6 \cdot 1$

2. Раскроем скобки в левой части и выполним умножение.

$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{x}{6} = 6$

$3x - x = 6$

3. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$2x = 6$

4. Найдем корень уравнения, разделив обе части на коэффициент при переменной, равный 2, используя то же правило, что и в шаге 1.

$x = \frac{6}{2}$

$x = 3$

Ответ: $3$.