Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

393 Андрей доехал на велосипеде от реки до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км/ч, а на обратном пути его скорость была 15 км/ч. Чему равно расстояние от реки до деревни?

Решение:

Для решения задачи введем переменную. Пусть искомое расстояние от реки до деревни равно $s$ км.

Время движения ($t$) связано с расстоянием ($s$) и скоростью ($v$) формулой $t = s/v$.

1. Найдем время, которое Андрей затратил на путь от реки до деревни. Его скорость на этом участке была $v_1 = 10$ км/ч.
Время $t_1 = s / v_1 = s / 10$ ч.

2. Найдем время, которое Андрей затратил на обратный путь. Его скорость на этом участке была $v_2 = 15$ км/ч.
Время $t_2 = s / v_2 = s / 15$ ч.

3. По условию, на весь путь Андрей затратил 1 час. Это значит, что сумма времени на путь туда и обратно равна 1 часу:
$t_1 + t_2 = 1$

4. Составим и решим уравнение, подставив выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{s}{10} + \frac{s}{15} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 — это 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \frac{s}{10} + 30 \cdot \frac{s}{15} = 30 \cdot 1$

$3s + 2s = 30$

$5s = 30$

$s = \frac{30}{5}$

$s = 6$

Таким образом, расстояние от реки до деревни составляет 6 км.

Ответ: 6 км.

394 Пётр прошёл от дома до пристани и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. От дома до пристани он шёл со скоростью 4 км/ч, а на обратном пути его скорость была 6 км/ч. Чему равно расстояние от дома до пристани?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $S$ — это искомое расстояние от дома до пристани в километрах.

Время, затраченное на путь, можно найти по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

Время, которое Пётр шёл от дома до пристани со скоростью 4 км/ч, равно $t_1 = \frac{S}{4}$ часа.

Время, которое он шёл обратно со скоростью 6 км/ч, равно $t_2 = \frac{S}{6}$ часа.

По условию, на весь путь Пётр затратил 1 час. Можем составить уравнение, сложив время движения в обе стороны:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{S}{4} + \frac{S}{6} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6 — это 12. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2:

$\frac{3S}{12} + \frac{2S}{12} = 1$

Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{3S + 2S}{12} = 1$

$\frac{5S}{12} = 1$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 12:

$5S = 12$

Теперь разделим обе части на 5:

$S = \frac{12}{5}$

$S = 2.4$

Таким образом, расстояние от дома до пристани составляет 2,4 км.

Ответ: 2,4 км.

Решите задачу, обозначив буквой удобную для составления уравнения величину (395–399).

395 Дорога от дома до школы и обратно занимает у Ольги $1/2$ ч. В школу она идёт со скоростью 6 км/ч, а обратно — со скоростью 3 км/ч. Чему равно расстояние от дома до школы?

Для решения задачи обозначим искомую величину — расстояние от дома до школы — буквой $S$. Расстояние измеряется в километрах (км).

Время движения ($t$) связано со скоростью ($v$) и расстоянием ($S$) формулой $t = \frac{S}{v}$.

Ольга идет в школу со скоростью $v_1 = 6$ км/ч. Время, которое она тратит на дорогу в школу, составляет:

$t_1 = \frac{S}{6}$ ч.

Обратно она идет со скоростью $v_2 = 3$ км/ч. Время, которое она тратит на обратный путь, составляет:

$t_2 = \frac{S}{3}$ ч.

Общее время на дорогу от дома до школы и обратно составляет $t_{общ} = \frac{1}{2}$ часа. Это время является суммой времени на дорогу в школу и времени на обратный путь:

$t_{общ} = t_1 + t_2$

Составим и решим уравнение:

$\frac{S}{6} + \frac{S}{3} = \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю 6:

$\frac{S}{6} + \frac{2 \cdot S}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$

$\frac{S}{6} + \frac{2S}{6} = \frac{1}{2}$

Сложим дроби:

$\frac{S + 2S}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{3S}{6} = \frac{1}{2}$

Сократим дробь в левой части на 3:

$\frac{S}{2} = \frac{1}{2}$

Из этого равенства следует, что $S=1$.

Таким образом, расстояние от дома до школы равно 1 км.

Ответ: 1 км.

396 Велосипедист первую половину пути проехал за 3 ч, а вторую половину пути — за 2 ч, так как увеличил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист?

Для решения задачи обозначим искомое расстояние через $S$ (в км). Тогда первая и вторая половина пути равны $S/2$.

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость велосипедиста на первой половине пути. По условию, первую половину пути он проехал за $t_1 = 3$ ч. Используя формулу расстояния $d = v \cdot t$, получаем:
$S/2 = v_1 \cdot 3$

На второй половине пути велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч, следовательно, его скорость $v_2$ стала равна $v_1 + 4$ км/ч. Вторую половину пути он проехал за $t_2 = 2$ ч. Для этого участка пути справедливо равенство:
$S/2 = (v_1 + 4) \cdot 2$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($S/2$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти неизвестную скорость $v_1$:
$3 \cdot v_1 = 2 \cdot (v_1 + 4)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$3v_1 = 2v_1 + 8$
$3v_1 - 2v_1 = 8$
$v_1 = 8$
Таким образом, скорость велосипедиста на первой половине пути была 8 км/ч.

Теперь, зная скорость на первой половине пути, мы можем вычислить расстояние этой половины:
$S/2 = v_1 \cdot t_1 = 8 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 24$ км.

Так как 24 км — это половина всего пути, то общее расстояние $S$ будет в два раза больше:
$S = 24 \text{ км} \cdot 2 = 48$ км.

Ответ: 48 км.

397 От железнодорожной станции до турбазы туристы шли со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Обратно они ехали на велосипедах со скоростью $12 \text{ км/ч}$ и затратили на дорогу на $4 \text{ ч}$ меньше. Чему равно расстояние от станции до турбазы?

Для решения этой задачи составим уравнение, где неизвестной величиной будет искомое расстояние.

Пусть $S$ (в км) — расстояние от железнодорожной станции до турбазы.

Скорость туристов по пути на турбазу (пешком) составляет $v_1 = 4$ км/ч.

Скорость туристов на обратном пути (на велосипедах) составляет $v_2 = 12$ км/ч.

Время движения определяется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, затраченное на путь до турбазы: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{4}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{12}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь (на велосипедах) было затрачено на 4 часа меньше, чем на путь до турбазы (пешком). Это можно выразить следующим уравнением:

$t_1 - t_2 = 4$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{S}{4} - \frac{S}{12} = 4$

Для решения уравнения необходимо избавиться от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 12, которое равно 12:

$12 \cdot \left(\frac{S}{4} - \frac{S}{12}\right) = 12 \cdot 4$

$12 \cdot \frac{S}{4} - 12 \cdot \frac{S}{12} = 48$

$3S - S = 48$

$2S = 48$

$S = \frac{48}{2}$

$S = 24$

Таким образом, расстояние от станции до турбазы равно 24 км.

Проверим решение:

• Время в пути пешком: $t_1 = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 6$ часов.
• Время в пути на велосипеде: $t_2 = \frac{24 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
• Разница во времени: $6 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 4$ часа.

Разница во времени совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: 24 км.

398 Половину всех имеющихся орехов упаковали в большие пакеты по 500 г в каждый, а вторую половину — в маленькие пакеты по 300 г в каждый. Всего получилось 16 пакетов. Сколько было орехов?

Пусть $M$ — это общая масса всех орехов в граммах.

Согласно условию, половину орехов, масса которых составляет $\frac{M}{2}$ г, упаковали в большие пакеты по 500 г. Таким образом, количество больших пакетов равно:
$N_{б} = \frac{M/2}{500} = \frac{M}{1000}$

Вторую половину орехов, масса которой также равна $\frac{M}{2}$ г, упаковали в маленькие пакеты по 300 г. Количество маленьких пакетов составляет:
$N_{м} = \frac{M/2}{300} = \frac{M}{600}$

Всего получилось 16 пакетов, следовательно, сумма количества больших и маленьких пакетов равна 16. Составим и решим уравнение:
$N_{б} + N_{м} = 16$
$\frac{M}{1000} + \frac{M}{600} = 16$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 1000 и 600 это 3000.
$\frac{3 \cdot M}{3 \cdot 1000} + \frac{5 \cdot M}{5 \cdot 600} = 16$
$\frac{3M}{3000} + \frac{5M}{3000} = 16$
$\frac{3M + 5M}{3000} = 16$
$\frac{8M}{3000} = 16$

Теперь найдем $M$:
$8M = 16 \cdot 3000$
$8M = 48000$
$M = \frac{48000}{8}$
$M = 6000$

Таким образом, общая масса орехов составляет 6000 г, или 6 кг.

Ответ: 6000 г.

399 Все имеющиеся апельсины можно разложить в 3 пакета или в 5 коробок. Сколько килограммов апельсинов имеется, если в пакет вмещается на 2 кг апельсинов больше, чем в коробку?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это масса апельсинов, которая помещается в одну коробку.

Из условия известно, что в пакет вмещается на 2 кг апельсинов больше, чем в коробку. Следовательно, масса апельсинов в одном пакете составляет $(x + 2)$ кг.

Общая масса всех апельсинов одинакова, независимо от того, как их раскладывают.

Если все апельсины разложить в 5 коробок, то их общая масса будет равна $5 \cdot x$ кг.

Если все апельсины разложить в 3 пакета, то их общая масса будет равна $3 \cdot (x + 2)$ кг.

Так как общая масса апельсинов не меняется, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$5x = 3(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x = 3x + 6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$5x - 3x = 6$

$2x = 6$

Найдем значение $x$:

$x = 6 / 2$

$x = 3$

Таким образом, в одну коробку вмещается 3 кг апельсинов.

Теперь мы можем найти общую массу всех апельсинов. Для этого подставим найденное значение $x$ в любое из выражений для общей массы. Например, в $5x$:

Общая масса = $5 \cdot 3 = 15$ кг.

Для проверки можно подставить $x$ во второе выражение $3(x+2)$:

Общая масса = $3 \cdot (3 + 2) = 3 \cdot 5 = 15$ кг.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: имеется 15 кг апельсинов.