Страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

400 а) Существуют ли три последовательных чётных числа, сумма которых равна 74?

б) Существуют ли три последовательных нечётных числа, сумма которых равна 69?

а) Существуют ли три последовательных чётных числа, сумма которых равна 74?

Обозначим три последовательных чётных числа через переменные. Пусть среднее из этих чисел равно $x$. Поскольку числа чётные и последовательные, они отличаются друг от друга на 2. Тогда три числа можно записать как $x-2$, $x$ и $x+2$. По условию, $x$ должно быть чётным целым числом.

Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна 74:

$(x - 2) + x + (x + 2) = 74$

Упростим левую часть уравнения:

$3x = 74$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{74}{3}$

$x = 24\frac{2}{3}$

Полученное значение $x$ не является целым числом, а значит, и не является чётным целым числом. Следовательно, не существует трёх последовательных чётных чисел, сумма которых равна 74.

Другой способ рассуждения: сумма трёх последовательных чётных чисел $(x-2) + x + (x+2) = 3x$ всегда должна делиться на 3. Число 74 не делится на 3 без остатка (сумма цифр $7+4=11$, что не делится на 3). Поэтому такая ситуация невозможна.

Ответ: нет, не существуют.

б) Существуют ли три последовательных нечётных числа, сумма которых равна 69?

Аналогично пункту а), обозначим три последовательных нечётных числа. Пусть среднее число равно $y$. Так как числа нечётные и последовательные, они также отличаются друг от друга на 2. Тогда эти числа можно записать как $y-2$, $y$ и $y+2$. По условию, $y$ должно быть нечётным целым числом.

Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна 69:

$(y - 2) + y + (y + 2) = 69$

Упростим левую часть уравнения:

$3y = 69$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{69}{3}$

$y = 23$

Полученное значение $y=23$ является целым и нечётным числом. Значит, такие три числа существуют. Найдем их:

• Первое число: $y - 2 = 23 - 2 = 21$
• Второе число: $y = 23$
• Третье число: $y + 2 = 23 + 2 = 25$

Проверим их сумму: $21 + 23 + 25 = 69$. Условие выполняется.

Ответ: да, существуют. Это числа 21, 23 и 25.

401 а) В саду растут яблони, груши и сливы — всего 130 деревьев. Определите, сколько в саду деревьев каждого вида, если известно, что яблонь в 3 раза больше, чем груш, а слив на 10 больше, чем груш.

б) Купили карандаши, кисти и линейки — всего 43 штуки. Линеек купили на 7 штук меньше, чем кистей, и в 4 раза меньше, чем карандашей. Сколько купили карандашей, кистей и линеек в отдельности?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество груш в саду. Исходя из условия, количество яблонь в 3 раза больше, чем груш, следовательно, яблонь — $3x$. Количество слив на 10 больше, чем груш, значит, слив — $x + 10$. Всего в саду 130 деревьев.

Составим уравнение, сложив количество деревьев каждого вида:

$x + 3x + (x + 10) = 130$

Решим это уравнение:

$5x + 10 = 130$

$5x = 130 - 10$

$5x = 120$

$x = \frac{120}{5}$

$x = 24$

Таким образом, в саду было 24 груши.

Теперь найдем количество яблонь и слив:

• Количество яблонь: $3x = 3 \cdot 24 = 72$ дерева.
• Количество слив: $x + 10 = 24 + 10 = 34$ дерева.

Проверим: $24 + 72 + 34 = 130$.

Ответ: в саду растет 72 яблони, 24 груши и 34 сливы.

б)

Обозначим за $x$ количество линеек. По условию, линеек купили на 7 штук меньше, чем кистей. Это значит, что кистей было на 7 больше, чем линеек, то есть $x + 7$. Также известно, что линеек в 4 раза меньше, чем карандашей. Это значит, что карандашей в 4 раза больше, чем линеек, то есть $4x$. Всего купили 43 предмета.

Составим и решим уравнение:

$x + (x + 7) + 4x = 43$

$6x + 7 = 43$

$6x = 43 - 7$

$6x = 36$

$x = \frac{36}{6}$

$x = 6$

Итак, купили 6 линеек.

Теперь найдем количество кистей и карандашей:

• Количество кистей: $x + 7 = 6 + 7 = 13$ штук.
• Количество карандашей: $4x = 4 \cdot 6 = 24$ штуки.

Проверим: $6 + 13 + 24 = 43$.

Ответ: купили 24 карандаша, 13 кистей и 6 линеек.

402 a) Для трёх аквариумов требуется 61 л воды. Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше, чем третий, а второй — на 5 л больше, чем третий. Сколько литров воды вмещает каждый аквариум?

б) Продавец разложил гречневую крупу в четыре пакета. В первый пакет он насыпал в 1,5 раза больше крупы, чем во второй, а ещё в каждый из двух пакетов, т. е. в третий и четвёртый, — на 0,5 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов гречневой крупы в каждом пакете, если масса всех четырёх пакетов вместе 14,5 кг?

а)

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ литров — это объём третьего аквариума. Исходя из условия, объём первого аквариума будет в 1,5 раза больше, то есть $1.5x$ литров. Объём второго аквариума на 5 литров больше, чем третьего, то есть $(x + 5)$ литров. Суммарный объём всех трёх аквариумов составляет 61 литр.

Составим и решим уравнение, приравняв сумму объёмов к общему объёму:

$1.5x + (x + 5) + x = 61$

Сначала сложим все слагаемые, содержащие переменную $x$:

$3.5x + 5 = 61$

Теперь перенесём число 5 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$3.5x = 61 - 5$

$3.5x = 56$

Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 3,5:

$x = \frac{56}{3.5}$

$x = 16$

Таким образом, объём третьего аквариума составляет 16 литров.

Теперь можем найти объёмы остальных аквариумов:

• Объём первого аквариума: $1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 16 = 24$ литра.
• Объём второго аквариума: $x + 5 = 16 + 5 = 21$ литр.

Проверим результат: $24 + 21 + 16 = 61$ литр. Сумма сходится с условием.

Ответ: объём первого аквариума — 24 л, второго — 21 л, третьего — 16 л.

б)

Обозначим массу гречневой крупы во втором пакете через $y$ кг. Тогда, согласно условию, масса крупы в первом пакете составляет $1.5y$ кг. Масса в третьем и четвёртом пакетах на 0,5 кг больше, чем во втором, следовательно, масса каждого из них равна $(y + 0.5)$ кг. Общая масса крупы во всех четырёх пакетах — 14,5 кг.

Составим уравнение, сложив массу крупы во всех пакетах:

$1.5y + y + (y + 0.5) + (y + 0.5) = 14.5$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1.5 + 1 + 1 + 1)y + (0.5 + 0.5) = 14.5$

$4.5y + 1 = 14.5$

Перенесём 1 в правую часть уравнения:

$4.5y = 14.5 - 1$

$4.5y = 13.5$

Теперь найдём $y$:

$y = \frac{13.5}{4.5}$

$y = 3$

Итак, масса крупы во втором пакете равна 3 кг.

Вычислим массу крупы в остальных пакетах:

• Масса в первом пакете: $1.5 \cdot y = 1.5 \cdot 3 = 4.5$ кг.
• Масса в третьем пакете: $y + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.5$ кг.
• Масса в четвёртом пакете: $y + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.5$ кг.

Проверим, равна ли общая масса 14,5 кг: $4.5 + 3 + 3.5 + 3.5 = 14.5$ кг. Всё верно.

Ответ: в первом пакете 4,5 кг, во втором — 3 кг, в третьем и четвёртом — по 3,5 кг.

403 а) Из посёлка в город одновременно выехали мотоциклист со скоростью $40 \text{ км/ч}$ и велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Определите, какое время затратил на путь велосипедист, если известно, что он прибыл в город на $1,5 \text{ ч}$ позже мотоциклиста.

б) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через час вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Он приехал на станцию на $0,5 \text{ ч}$ раньше пешехода. Определите расстояние от туристического лагеря до станции.

а)

Обозначим искомое время, которое велосипедист затратил на путь, как $t_в$ (в часах), а время мотоциклиста — как $t_м$ (в часах). Расстояние от посёлка до города обозначим как $S$ (в км).

Дано:

• Скорость мотоциклиста $v_м = 40$ км/ч.
• Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Поскольку они выехали одновременно и проехали одно и то же расстояние $S$, мы можем записать уравнения для времени и расстояния для каждого:

$S = v_м \cdot t_м = 40t_м$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Так как расстояние одинаково, приравняем правые части уравнений:

$40t_м = 10t_в$

Из условия известно, что велосипедист прибыл на 1,5 часа позже мотоциклиста. Это означает, что время в пути у велосипедиста было на 1,5 часа больше:

$t_в = t_м + 1.5$

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим $t_м$ из второго уравнения:

$t_м = t_в - 1.5$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$40(t_в - 1.5) = 10t_в$

Решим полученное уравнение относительно $t_в$:

$40t_в - 60 = 10t_в$

$40t_в - 10t_в = 60$

$30t_в = 60$

$t_в = \frac{60}{30} = 2$

Таким образом, время, которое затратил на путь велосипедист, составляет 2 часа.

Ответ: 2 часа.

б)

Обозначим искомое расстояние от туристического лагеря до станции как $S$ (в км).

Дано:

• Скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч.
• Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Пусть время движения пешехода — $t_п$ (в часах), а время движения велосипедиста — $t_в$ (в часах). Они прошли одинаковое расстояние $S$.

$S = v_п \cdot t_п = 4t_п$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Следовательно, $4t_п = 10t_в$.

По условию, велосипедист выехал на 1 час позже пешехода и приехал на 0,5 часа раньше. Это означает, что общее время в пути у пешехода было больше, чем у велосипедиста. Разница во времени их движения составляет $1 \text{ час} + 0.5 \text{ часа} = 1.5$ часа.

$t_п = t_в + 1.5$

Подставим это соотношение в уравнение для расстояний:

$4(t_в + 1.5) = 10t_в$

Решим это уравнение, чтобы найти время движения велосипедиста $t_в$:

$4t_в + 6 = 10t_в$

$6 = 10t_в - 4t_в$

$6 = 6t_в$

$t_в = 1$

Велосипедист был в пути 1 час. Теперь найдем расстояние $S$, используя данные для велосипедиста:

$S = v_в \cdot t_в = 10 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Ответ: 10 км.

404 a) На одном и том же расстоянии маленький обруч делает 15 оборотов, а большой — 9 оборотов. Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча. Определите длину окружности каждого обруча.

б) Длина окружности маленького обруча 3 м, а большого 4 м. На одном и том же расстоянии маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Определите это расстояние.

а)

Пусть $C_м$ — длина окружности маленького обруча (в метрах), а $C_б$ — длина окружности большого обруча (в метрах). Пусть $S$ — расстояние, которое прокатили оба обруча.

Расстояние, которое проходит обруч, равно произведению длины его окружности на количество сделанных оборотов. По условию, маленький обруч сделал 15 оборотов, а большой — 9 оборотов, и они прошли одно и то же расстояние. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$S = 15 \times C_м = 9 \times C_б$

Также по условию известно, что длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого:

$C_м = C_б - 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 15 \cdot C_м = 9 \cdot C_б \\ C_м = C_б - 2 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы выразить всё через одну переменную $C_б$:

$15 \cdot (C_б - 2) = 9 \cdot C_б$

Решим полученное уравнение:

$15 C_б - 30 = 9 C_б$

$15 C_б - 9 C_б = 30$

$6 C_б = 30$

$C_б = \frac{30}{6}$

$C_б = 5$ (м)

Теперь, зная длину окружности большого обруча, найдем длину окружности маленького:

$C_м = C_б - 2 = 5 - 2 = 3$ (м)

Проверим решение: расстояние, пройденное маленьким обручем, составляет $15 \times 3 = 45$ м. Расстояние, пройденное большим обручем, составляет $9 \times 5 = 45$ м. Расстояния равны, что соответствует условию.

Ответ: длина окружности маленького обруча — 3 м, длина окружности большого обруча — 5 м.

б)

Пусть $S$ — искомое расстояние (в метрах). Известно, что длина окружности маленького обруча $C_м = 3$ м, а большого — $C_б = 4$ м.

Количество оборотов ($N$), которое сделает обруч на расстоянии $S$, вычисляется по формуле $N = \frac{S}{C}$, где $C$ — длина окружности.

Количество оборотов маленького обруча: $N_м = \frac{S}{C_м} = \frac{S}{3}$.

Количество оборотов большого обруча: $N_б = \frac{S}{C_б} = \frac{S}{4}$.

По условию, маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Составим уравнение на основе этого факта:

$N_м = N_б + 10$

$\frac{S}{3} = \frac{S}{4} + 10$

Для решения этого уравнения относительно $S$, приведем дроби к общему знаменателю (12) или умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{S}{3} = 12 \cdot \frac{S}{4} + 12 \cdot 10$

$4S = 3S + 120$

Перенесем слагаемое с $S$ в левую часть:

$4S - 3S = 120$

$S = 120$ (м)

Проверим решение: количество оборотов маленького обруча равно $\frac{120}{3} = 40$. Количество оборотов большого обруча равно $\frac{120}{4} = 30$. Разница составляет $40 - 30 = 10$ оборотов, что соответствует условию.

Ответ: расстояние равно 120 м.

405 Провод длиной $9,9 \text{ м}$ разрезали на две части. Определите длину каждой части, если известно, что:

а) одна из них на $20\%$ короче другой;

б) одна из них на $20\%$ длиннее другой.

Обозначим общую длину провода как $L = 9.9$ м. Провод разрезали на две части, длины которых обозначим как $l_1$ и $l_2$. Сумма их длин равна общей длине провода:

$l_1 + l_2 = 9.9$

а) одна из них на 20% короче другой;

Пусть $l_1$ — это длина более короткой части, а $l_2$ — длина более длинной части. Условие "одна на 20% короче другой" означает, что длина короткой части на 20% меньше длины длинной части. За базу для сравнения берется длинная часть ($l_2$).

Это можно выразить формулой:

$l_1 = l_2 - 0.2 \cdot l_2 = (1 - 0.2) \cdot l_2 = 0.8 \cdot l_2$

Теперь подставим это выражение в уравнение для общей длины:

$0.8 \cdot l_2 + l_2 = 9.9$

$1.8 \cdot l_2 = 9.9$

Отсюда находим длину длинной части:

$l_2 = \frac{9.9}{1.8} = \frac{99}{18} = \frac{11}{2} = 5.5$ м.

Теперь находим длину короткой части:

$l_1 = 0.8 \cdot l_2 = 0.8 \cdot 5.5 = 4.4$ м.

Проверка: $4.4 \text{ м} + 5.5 \text{ м} = 9.9 \text{ м}$.

Ответ: длины частей равны 4,4 м и 5,5 м.

б) одна из них на 20% длиннее другой.

Пусть $l_2$ — это длина более длинной части, а $l_1$ — длина более короткой части. Условие "одна на 20% длиннее другой" означает, что длина длинной части на 20% больше длины короткой части. За базу для сравнения теперь берется короткая часть ($l_1$).

Это можно выразить формулой:

$l_2 = l_1 + 0.2 \cdot l_1 = (1 + 0.2) \cdot l_1 = 1.2 \cdot l_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение для общей длины:

$l_1 + 1.2 \cdot l_1 = 9.9$

$2.2 \cdot l_1 = 9.9$

Отсюда находим длину короткой части:

$l_1 = \frac{9.9}{2.2} = \frac{99}{22} = \frac{9}{2} = 4.5$ м.

Теперь находим длину длинной части:

$l_2 = 1.2 \cdot l_1 = 1.2 \cdot 4.5 = 5.4$ м.

Проверка: $4.5 \text{ м} + 5.4 \text{ м} = 9.9 \text{ м}$.

Ответ: длины частей равны 4,5 м и 5,4 м.