Страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

По условию разобранной в тексте задачи составьте уравнение, обозначив буквой $x$ исходное количество угля на втором складе, и решите задачу.

Поскольку условие самой задачи из текста не приведено, восстановим его на основе типовых задач этого класса, чтобы можно было выполнить задание. Предположим, условие было таким:

На первом складе было на 20 тонн угля больше, чем на втором. После того как с первого склада вывезли 30 тонн, а на второй привезли 30 тонн, на втором складе угля стало в 1,5 раза больше, чем на первом. Сколько тонн угля было на каждом складе первоначально?

Теперь, согласно заданию, решим эту задачу, обозначив за $x$ исходное количество угля на втором складе.

Составление уравнения и решение задачи

1. Пусть $x$ тонн — исходное количество угля на втором складе.

2. По условию, на первом складе было на 20 тонн больше, значит, на первом складе было $(x + 20)$ тонн угля.

3. С первого склада вывезли 30 тонн угля. Количество угля на нем стало: $(x + 20) - 30 = (x - 10)$ тонн.

4. На второй склад привезли 30 тонн угля. Количество угля на нем стало: $(x + 30)$ тонн.

5. После этих изменений на втором складе стало в 1,5 раза больше угля, чем на первом. На основе этого составим уравнение:

$x + 30 = 1.5 \cdot (x - 10)$

6. Решим полученное уравнение:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 30 = 1.5x - 15$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы избежать отрицательных коэффициентов при $x$:

$30 + 15 = 1.5x - x$

$45 = 0.5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 0,5 (что равносильно умножению на 2):

$x = \frac{45}{0.5}$

$x = 90$

7. Мы нашли, что исходное количество угля на втором складе равно 90 тонн.

8. Теперь найдем исходное количество угля на первом складе:

$x + 20 = 90 + 20 = 110$ тонн.

Таким образом, первоначально на первом складе было 110 тонн угля, а на втором — 90 тонн.

Проверка:

Изначально: 110 т на первом и 90 т на втором (на первом на 20 т больше, верно).

После изменений: на первом складе стало $110 - 30 = 80$ т. На втором складе стало $90 + 30 = 120$ т.

Проверим соотношение: $120 / 80 = 1.5$. На втором складе действительно стало в 1,5 раза больше угля. Решение верное.

Ответ: первоначально на втором складе было 90 тонн угля, а на первом — 110 тонн угля.

Решите задачу, обозначив буквой наименьшую из неизвестных величин (381–383).

Первое число на 27 больше второго, а их сумма равна 95. Найдите эти числа.

б) Одно из чисел втрое больше второго, а разность этих чисел равна 62. Найдите большее из этих чисел.

а)

Пусть второе (меньшее) число равно $x$. Согласно условию, первое число на 27 больше второго, значит, оно равно $x + 27$. Сумма этих чисел равна 95. Составим и решим уравнение.

$x + (x + 27) = 95$
$2x + 27 = 95$
$2x = 95 - 27$
$2x = 68$
$x = 68 / 2$
$x = 34$

Итак, второе число равно 34.

Теперь найдем первое число:
$34 + 27 = 61$.

Проверка: $61 + 34 = 95$.

Ответ: 61 и 34.

б)

Пусть второе (меньшее) число равно $y$. Согласно условию, одно из чисел втрое больше второго, значит, большее число равно $3y$. Разность этих чисел равна 62. Составим и решим уравнение.

$3y - y = 62$
$2y = 62$
$y = 62 / 2$
$y = 31$

Мы нашли меньшее число, оно равно 31. По условию задачи нужно найти большее число.

Найдем большее число:
$3 \cdot y = 3 \cdot 31 = 93$.

Проверка: $93 - 31 = 62$.

Ответ: 93.

382 a) Сумма трёх слагаемых равна 80. Первое слагаемое в 2 раза больше второго, а второе слагаемое в 3 раза больше третьего. Найдите каждое слагаемое этой суммы.

б) Сумма трёх чисел равна 192. Первое число в 5 раз меньше второго, а второе в 2 раза меньше третьего. Найдите каждое из чисел.

а)

Для решения задачи составим уравнение. Давайте обозначим самое меньшее, третье слагаемое, как $x$.

Из условия известно, что второе слагаемое в 3 раза больше третьего, значит, его можно выразить как $3x$.

Первое слагаемое в 2 раза больше второго, следовательно, оно равно $2 \cdot (3x) = 6x$.

Сумма всех трёх слагаемых равна 80. Запишем это в виде уравнения:

$6x + 3x + x = 80$

Сложим все части с $x$:

$10x = 80$

Теперь найдём $x$:

$x = 80 \div 10$

$x = 8$

Мы нашли третье слагаемое, оно равно 8. Теперь можем найти остальные:

• Третье слагаемое: $x = 8$
• Второе слагаемое: $3x = 3 \cdot 8 = 24$
• Первое слагаемое: $6x = 6 \cdot 8 = 48$

Проверка: $48 + 24 + 8 = 72 + 8 = 80$. Условия задачи выполнены.

Ответ: первое слагаемое – 48, второе слагаемое – 24, третье слагаемое – 8.

б)

Для решения задачи также составим уравнение. Обозначим самое меньшее, первое число, как $y$.

Из условия известно, что первое число в 5 раз меньше второго. Это значит, что второе число в 5 раз больше первого, то есть оно равно $5y$.

Также известно, что второе число в 2 раза меньше третьего. Это значит, что третье число в 2 раза больше второго, то есть оно равно $2 \cdot (5y) = 10y$.

Сумма этих трёх чисел равна 192. Составим уравнение:

$y + 5y + 10y = 192$

Сложим все части с $y$:

$16y = 192$

Теперь найдём $y$:

$y = 192 \div 16$

$y = 12$

Мы нашли первое число, оно равно 12. Теперь можем найти остальные:

• Первое число: $y = 12$
• Второе число: $5y = 5 \cdot 12 = 60$
• Третье число: $10y = 10 \cdot 12 = 120$

Проверка: $12 + 60 + 120 = 72 + 120 = 192$. Условия задачи выполнены.

Ответ: первое число – 12, второе число – 60, третье число – 120.

383 (Старинная задача.) Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внёс каждый из подмастерьев?

Для решения задачи введем переменную. Пусть сумма, которую внёс третий подмастерье, равна $x$ гульденов.

Согласно условию, второй подмастерье дал вчетверо больше, чем третий. Значит, его взнос составляет $4 \times x = 4x$ гульденов.

Первый подмастерье, в свою очередь, дал втрое больше денег, чем второй. Следовательно, его взнос равен $3 \times (4x) = 12x$ гульденов.

Общая стоимость дома составляет 204 гульдена. Сумма взносов всех троих подмастерьев должна быть равна этой стоимости. Мы можем составить и решить уравнение:

$x + 4x + 12x = 204$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$17x = 204$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 17:

$x = \frac{204}{17}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли, что третий подмастерье внёс 12 гульденов.

Теперь рассчитаем, сколько внесли остальные подмастерья:

Взнос второго подмастерья: $4x = 4 \times 12 = 48$ гульденов.

Взнос первого подмастерья: $12x = 12 \times 12 = 144$ гульдена.

Для проверки сложим все три взноса: $144 + 48 + 12 = 192 + 12 = 204$. Сумма совпадает с ценой дома.

Ответ: первый подмастерье внёс 144 гульдена, второй — 48 гульденов, а третий — 12 гульденов.

Решите задачу арифметическим способом, а затем алгебраическим. В каждом случае оцените, какой из них для вас удобнее (384–387).

384 а) На дорогу от дома до работы и обратно у Андрея уходит 90 мин. Обратный путь занимает у него на 10 мин больше, чем путь на работу. Сколько минут Андрей добирается до работы и сколько минут он едет домой?

б) На выборах в городскую администрацию за двух кандидатов проголосовало 600 человек. Один из них получил на 120 голосов больше, чем другой. Сколько голосов получил каждый?

Арифметический способ:

1. Общее время на дорогу туда и обратно составляет 90 минут. Мы знаем, что обратный путь на 10 минут длиннее. Если мы вычтем эту разницу из общего времени, мы получим время, которое было бы затрачено, если бы оба пути были равны по времени (равны более короткому пути, то есть пути на работу): $90 - 10 = 80$ минут.

2. Полученные 80 минут — это удвоенное время пути на работу. Чтобы найти время на дорогу до работы, разделим это значение на 2: $80 / 2 = 40$ минут.

3. Теперь найдем время на обратный путь, которое на 10 минут больше: $40 + 10 = 50$ минут.

Проверим: $40 + 50 = 90$ минут, что соответствует условию задачи.

Ответ: 40 минут Андрей добирается до работы, 50 минут он едет домой.

Алгебраический способ:

Пусть $x$ минут – время, которое Андрей тратит на дорогу до работы. Тогда на обратный путь он тратит $(x + 10)$ минут. Зная, что общее время в пути составляет 90 минут, составим и решим уравнение:

$x + (x + 10) = 90$

$2x + 10 = 90$

$2x = 90 - 10$

$2x = 80$

$x = 80 / 2$

$x = 40$

Таким образом, время на дорогу до работы составляет 40 минут. Тогда время на обратный путь: $40 + 10 = 50$ минут.

Ответ: 40 минут Андрей добирается до работы, 50 минут он едет домой.

Оценка: Для данной задачи оба способа решения достаточно просты. Однако алгебраический способ может показаться удобнее, поскольку он позволяет формализовать задачу и решить ее с помощью стандартного алгоритма решения линейных уравнений, что исключает возможность ошибки в логических рассуждениях.

Арифметический способ:

1. Всего проголосовало 600 человек. Разница в голосах между кандидатами составляет 120. Если мы вычтем эту разницу из общего числа голосов, мы получим количество голосов, которое было бы, если бы оба кандидата набрали поровну (по количеству голосов проигравшего): $600 - 120 = 480$ голосов.

2. Это "уравненное" количество в 480 голосов приходится на двух кандидатов. Чтобы найти, сколько голосов получил кандидат с меньшим результатом, разделим 480 на 2: $480 / 2 = 240$ голосов.

3. Кандидат, набравший больше голосов, получил на 120 голосов больше: $240 + 120 = 360$ голосов.

Проверим: $240 + 360 = 600$ человек, что соответствует условию задачи.

Ответ: один кандидат получил 360 голосов, другой – 240 голосов.

Алгебраический способ:

Пусть $y$ голосов – получил кандидат с меньшим результатом. Тогда второй кандидат получил $(y + 120)$ голосов. Суммарное количество голосов равно 600. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 120) = 600$

$2y + 120 = 600$

$2y = 600 - 120$

$2y = 480$

$y = 480 / 2$

$y = 240$

Следовательно, один кандидат получил 240 голосов. Тогда второй кандидат получил: $240 + 120 = 360$ голосов.

Ответ: один кандидат получил 360 голосов, другой – 240 голосов.

Оценка: Как и в предыдущем случае, алгебраический способ представляется более удобным. Он является более универсальным методом для решения подобных задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Он сводит задачу к механическому выполнению шагов, что снижает вероятность допустить ошибку.

385 а) Бронза — это сплав олова и меди. Сколько олова и меди содержится в куске бронзы, масса которого 80 кг, если олово и медь входят в неё в отношении $3 : 17$?

б) Сколько соли и сколько воды содержится в 200 г раствора соли, если соль и вода входят в него в отношении $1 : 4$?

а) В этой задаче нужно найти массу олова и меди в куске бронзы массой 80 кг, зная, что их соотношение равно $3:17$.
1. Сначала найдем общее количество частей в сплаве. Отношение $3:17$ означает, что на 3 части олова приходится 17 частей меди. Всего частей:
$3 + 17 = 20$ частей.
2. Общая масса куска бронзы (80 кг) соответствует этим 20 частям. Найдем, сколько килограммов приходится на одну часть:
$80 \text{ кг} \div 20 = 4$ кг.
3. Теперь рассчитаем массу каждого компонента.
Масса олова (3 части): $3 \times 4 \text{ кг} = 12$ кг.
Масса меди (17 частей): $17 \times 4 \text{ кг} = 68$ кг.
4. Проверим решение: $12 \text{ кг} + 68 \text{ кг} = 80$ кг, что соответствует общей массе куска бронзы.
Ответ: в куске бронзы содержится 12 кг олова и 68 кг меди.

б) В этой задаче требуется определить массу соли и воды в 200 г раствора, если их соотношение составляет $1:4$.
1. Найдем общее количество частей в растворе. Отношение $1:4$ означает, что на 1 часть соли приходится 4 части воды. Всего частей:
$1 + 4 = 5$ частей.
2. Общая масса раствора (200 г) соответствует этим 5 частям. Найдем, сколько граммов приходится на одну часть:
$200 \text{ г} \div 5 = 40$ г.
3. Рассчитаем массу каждого компонента.
Масса соли (1 часть): $1 \times 40 \text{ г} = 40$ г.
Масса воды (4 части): $4 \times 40 \text{ г} = 160$ г.
4. Проверим решение: $40 \text{ г} + 160 \text{ г} = 200$ г, что соответствует общей массе раствора.
Ответ: в 200 г раствора содержится 40 г соли и 160 г воды.