Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

386 а) Мальчики составляют $\frac{2}{3}$ всех учащихся школы. Сколько в школе учащихся, если в ней учится 456 мальчиков?

б) Масса котёнка 0,6 кг. Она составляет 0,4 массы щенка. Определите массу щенка.

а)

В этой задаче известно, что 456 мальчиков составляют $ \frac{2}{3} $ от общего числа всех учащихся школы. Это задача на нахождение целого по его части. Чтобы найти общее число учащихся (целое), необходимо значение известной части (456) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($ \frac{2}{3} $).

Выполним вычисление. Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$ 456 : \frac{2}{3} = 456 \cdot \frac{3}{2} = \frac{456 \cdot 3}{2} $

Сократим 456 и 2:

$ \frac{456 \cdot 3}{2} = 228 \cdot 3 = 684 $

Таким образом, в школе учится 684 человека.

Ответ: в школе 684 учащихся.

б)

Из условия известно, что масса котёнка, равная 0,6 кг, составляет 0,4 от массы щенка. Чтобы определить массу щенка, необходимо найти целое по его части, выраженной десятичной дробью. Для этого нужно известную часть (0,6 кг) разделить на её долю (0,4).

Выполним вычисление. Чтобы разделить десятичные дроби, можно избавиться от запятой, умножив делимое и делитель на 10:

$ 0,6 : 0,4 = \frac{0,6}{0,4} = \frac{0,6 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{6}{4} = 1,5 $

Следовательно, масса щенка составляет 1,5 кг.

Ответ: масса щенка 1,5 кг.

387 a) Ученик прочитал 144 страницы, что составляет $36\%$ числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

б) Масса сушёных яблок составляет $16\%$ массы свежих яблок. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 80 кг сушёных?

а) Чтобы найти общее количество страниц в книге, нам нужно найти целое число по его части и проценту, который эта часть составляет. Нам известно, что 144 страницы — это 36% от всей книги.

1. Сначала найдём, сколько страниц составляет 1% от общего числа. для этого разделим количество прочитанных страниц на соответствующее им число процентов:
$144 \div 36 = 4$ страницы.

2. Теперь, зная, что 1% — это 4 страницы, мы можем найти общее количество страниц в книге, которое составляет 100%. Для этого умножим количество страниц в одном проценте на 100:
$4 \times 100 = 400$ страниц.
Таким образом, в книге 400 страниц.
Ответ: 400 страниц.

б) Эта задача решается аналогично. Нам нужно найти общую массу свежих яблок (100%), зная, что масса сушёных яблок (80 кг) составляет 16% от этой массы.

1. Определим, какая масса свежих яблок соответствует 1%. Для этого разделим массу сушёных яблок на её процентное содержание:
$80 \div 16 = 5$ кг.

2. Теперь найдём, сколько свежих яблок нужно взять, чтобы получить 100%. Умножим массу, соответствующую 1%, на 100:
$5 \times 100 = 500$ кг.
Следовательно, чтобы получить 80 кг сушёных яблок, нужно взять 500 кг свежих.
Ответ: 500 кг.

Решите задачу (388–390).

388 а) Одно число составляет $ \frac{4}{5} $ другого числа, а их сумма равна 108. Найдите эти числа.

б) Одно число составляет $45\%$ другого. Найдите эти числа, если одно из них на 66 больше другого.

а)

Пусть одно из чисел равно $x$, тогда второе число, согласно условию, равно $\frac{4}{5}x$. Их сумма равна 108. Составим и решим уравнение.

$x + \frac{4}{5}x = 108$

Чтобы сложить $x$ и $\frac{4}{5}x$, представим $x$ как $\frac{5}{5}x$:

$\frac{5}{5}x + \frac{4}{5}x = 108$

$\frac{9}{5}x = 108$

Теперь найдем $x$:

$x = 108 \div \frac{9}{5} = 108 \cdot \frac{5}{9}$

$x = \frac{108 \cdot 5}{9} = 12 \cdot 5 = 60$

Одно из чисел равно 60. Найдем второе число:

$\frac{4}{5} \cdot 60 = \frac{4 \cdot 60}{5} = 4 \cdot 12 = 48$

Проверка: $60 + 48 = 108$. Условие выполняется.

Ответ: 48 и 60.

б)

Пусть одно число равно $y$. Другое число составляет 45% от него. Выразим 45% в виде десятичной дроби: $45\% = 0.45$. Значит, второе число равно $0.45y$.

Из условия известно, что одно число на 66 больше другого. Так как $y > 0.45y$ (при $y > 0$), то большее число это $y$. Составим уравнение, отражающее разницу между числами:

$y - 0.45y = 66$

$(1 - 0.45)y = 66$

$0.55y = 66$

Найдем $y$:

$y = \frac{66}{0.55} = \frac{6600}{55}$

Для удобства разделим числитель и знаменатель на 11:

$y = \frac{600}{5} = 120$

Итак, большее число равно 120. Теперь найдем меньшее число:

$0.45 \cdot 120 = 54$

Проверка: $120 - 54 = 66$. Условие выполняется.

Ответ: 54 и 120.

389 a) Велосипедист за 3 ч проезжает то же расстояние, что пешеход проходит за 9 ч. Определите скорость каждого, если известно, что скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода.

б) Автобус едет от одного города до другого со скоростью 50 км/ч, а автомобиль — со скоростью 80 км/ч, и весь путь занимает у него на 1,5 ч меньше, чем у автобуса. Определите время, за которое автобус проходит расстояние между городами.

а)

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Пусть $S$ — искомое расстояние.
Время, за которое пешеход проходит расстояние $S$, составляет $t_п = 9$ ч.
Время, за которое велосипедист проезжает то же расстояние $S$, составляет $t_в = 3$ ч.

Расстояние можно выразить через скорость и время по формуле $S = v \cdot t$.
Для пешехода: $S = v_п \cdot 9$.
Для велосипедиста: $S = v_в \cdot 3$.
Поскольку расстояние одинаково, мы можем приравнять эти два выражения:
$9 \cdot v_п = 3 \cdot v_в$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$3 \cdot v_п = v_в$

Из условия задачи также известно, что скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. Это можно записать в виде уравнения:
$v_в = v_п + 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:
$3 \cdot v_п = v_п + 8$
Теперь решим это уравнение относительно $v_п$:
$3v_п - v_п = 8$
$2v_п = 8$
$v_п = \frac{8}{2} = 4$ км/ч.

Мы нашли скорость пешехода. Теперь найдем скорость велосипедиста, используя одно из уравнений, например, $v_в = 3 \cdot v_п$:
$v_в = 3 \cdot 4 = 12$ км/ч.

Проверим: скорость велосипедиста (12 км/ч) действительно на 8 км/ч больше скорости пешехода (4 км/ч), и расстояние $12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36$ км равно расстоянию $4 \text{ км/ч} \cdot 9 \text{ ч} = 36$ км.

Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 12 км/ч.

б)

Пусть $t_а$ — время, которое автобус тратит на путь между городами, в часах. Это и есть искомая величина.
Скорость автобуса $v_а = 50$ км/ч.
Скорость автомобиля $v_м = 80$ км/ч.

Согласно условию, автомобиль тратит на тот же путь на 1,5 часа меньше. Значит, время в пути для автомобиля составляет $t_м = t_а - 1,5$ ч.

Расстояние $S$ между городами одинаково для обоих транспортных средств.
Расстояние, которое проезжает автобус, равно $S = v_а \cdot t_а = 50 \cdot t_а$.
Расстояние, которое проезжает автомобиль, равно $S = v_м \cdot t_м = 80 \cdot (t_а - 1,5)$.

Поскольку расстояния равны, приравняем правые части уравнений:
$50 \cdot t_а = 80 \cdot (t_а - 1,5)$
Раскроем скобки в правой части:
$50t_а = 80t_а - 80 \cdot 1,5$
$50t_а = 80t_а - 120$
Перенесем члены с $t_а$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$120 = 80t_а - 50t_а$
$120 = 30t_а$
Теперь найдем $t_а$:
$t_а = \frac{120}{30} = 4$ ч.

Ответ: время, за которое автобус проходит расстояние между городами, составляет 4 часа.

390 а) В 12 ящиков можно разложить такое же количество яблок, что и в 18 корзин. Определите, сколько килограммов яблок вмещает ящик и сколько корзина, если известно, что в ящик вмещается на 3 кг яблок больше, чем в корзину.

б) Имеющиеся конфеты разложили в коробки по 10 штук в каждую и в пакеты, 8 штук в каждый. Коробок получилось на 4 меньше, чем пакетов. Определите, сколько получилось коробок, если известно, что во всех коробках вместе упаковано столько же конфет, сколько во всех пакетах.

а)

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это масса яблок, которую вмещает одна корзина. По условию, в ящик вмещается на 3 кг яблок больше, чем в корзину, следовательно, один ящик вмещает $(x + 3)$ кг яблок.

Общая масса яблок в 12 ящиках составляет $12 \cdot (x + 3)$ кг.

Общая масса яблок в 18 корзинах составляет $18 \cdot x$ кг.

В условии сказано, что в 12 ящиках и 18 корзинах находится одинаковое количество яблок. На основании этого мы можем составить уравнение:

$12 \cdot (x + 3) = 18x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$12x + 36 = 18x$

2. Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую:

$36 = 18x - 12x$

$36 = 6x$

3. Найдем $x$:

$x = \frac{36}{6}$

$x = 6$

Таким образом, одна корзина вмещает 6 кг яблок.

Теперь найдем, сколько яблок вмещает один ящик:

$x + 3 = 6 + 3 = 9$ кг.

Проведем проверку:

Масса яблок в 12 ящиках: $12 \text{ ящиков} \cdot 9 \text{ кг/ящик} = 108$ кг.

Масса яблок в 18 корзинах: $18 \text{ корзин} \cdot 6 \text{ кг/корзину} = 108$ кг.

Количество яблок совпадает, что соответствует условию задачи.

Ответ: ящик вмещает 9 кг яблок, а корзина — 6 кг яблок.

б)

Пусть $y$ — это количество коробок с конфетами. Согласно условию, коробок получилось на 4 меньше, чем пакетов, значит, количество пакетов можно выразить как $(y + 4)$.

В каждой коробке находится 10 конфет, поэтому общее количество конфет во всех коробках равно $10 \cdot y$.

В каждом пакете находится 8 конфет, поэтому общее количество конфет во всех пакетах равно $8 \cdot (y + 4)$.

По условию, общее количество конфет в коробках равно общему количеству конфет в пакетах. Составим уравнение на основе этого факта:

$10y = 8 \cdot (y + 4)$

Решим полученное уравнение:

1. Раскроем скобки в правой части:

$10y = 8y + 32$

2. Перенесем члены с переменной $y$ в левую часть уравнения:

$10y - 8y = 32$

$2y = 32$

3. Найдем $y$:

$y = \frac{32}{2}$

$y = 16$

Следовательно, получилось 16 коробок.

Проверим решение:

Количество коробок: 16.

Количество пакетов: $16 + 4 = 20$.

Количество конфет в коробках: $16 \cdot 10 = 160$ штук.

Количество конфет в пакетах: $20 \cdot 8 = 160$ штук.

Количество конфет одинаково, и коробок на 4 меньше, чем пакетов ($20 - 16 = 4$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: получилось 16 коробок.

Решите задачу, составив уравнение двумя способами (391–392):

1) обозначив буквой какую-нибудь скорость движения;

2) обозначив буквой искомое расстояние.

391 От города до посёлка мотоциклист доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2 ч. Чему равно расстояние от города до посёлка?

1) обозначив буквой какую-нибудь скорость движения;

Пусть первоначальная скорость мотоциклиста равна $v$ км/ч. Тогда расстояние, которое он проехал за 3 часа, составляет $S = 3v$ км.

Согласно условию, если бы мотоциклист увеличил скорость на 25 км/ч, его новая скорость составила бы $(v + 25)$ км/ч. С этой скоростью он проехал бы то же самое расстояние за 2 часа. Значит, расстояние можно также выразить как $S = 2(v + 25)$ км.

Поскольку расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять два выражения для расстояния и составить уравнение:

$3v = 2(v + 25)$

Решим это уравнение:

$3v = 2v + 50$

$3v - 2v = 50$

$v = 50$

Мы нашли первоначальную скорость мотоциклиста — 50 км/ч. Теперь вычислим расстояние, подставив значение скорости в одно из выражений для $S$:

$S = 3v = 3 \cdot 50 = 150$ км.

Проверим по второму выражению: $S = 2(50 + 25) = 2 \cdot 75 = 150$ км.

Ответ: 150 км.

2) обозначив буквой искомое расстояние.

Пусть искомое расстояние от города до посёлка равно $S$ км.

В первом случае мотоциклист проехал это расстояние за 3 часа. Его скорость $v_1$ была равна $v_1 = S/3$ км/ч.

Во втором случае, если бы он ехал быстрее, он бы проехал то же расстояние $S$ за 2 часа. Его скорость $v_2$ была бы равна $v_2 = S/2$ км/ч.

Из условия задачи известно, что вторая скорость на 25 км/ч больше первой, то есть $v_2 = v_1 + 25$ или $v_2 - v_1 = 25$. Подставим выражения для скоростей в это равенство и составим уравнение:

$S/2 - S/3 = 25$

Решим это уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6:

$(3S)/6 - (2S)/6 = 25$

$(3S - 2S)/6 = 25$

$S/6 = 25$

Теперь найдем $S$:

$S = 25 \cdot 6$

$S = 150$

Таким образом, расстояние от города до посёлка составляет 150 км.

Ответ: 150 км.

392 От станции до озера турист доехал на велосипеде за 2 ч. Пешком он мог бы пройти это расстояние за 6 ч. Чему равно расстояние от станции до озера, если на велосипеде турист едет со скоростью, на $10 \text{ км/ч}$ большей, чем идёт пешком?

Решение:

Пусть $x$ км/ч – это скорость, с которой турист идёт пешком. Из условия задачи следует, что скорость на велосипеде на 10 км/ч больше, то есть она равна $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние от станции до озера можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Пешком турист проходит это расстояние за 6 часов. Значит, расстояние равно: $S = x \cdot 6$ км.

2. На велосипеде турист проезжает это же расстояние за 2 часа. Значит, расстояние равно: $S = (x + 10) \cdot 2$ км.

Поскольку расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений и составить уравнение:

$6x = 2(x + 10)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти скорость туриста пешком ($x$):

$6x = 2x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$6x - 2x = 20$

$4x = 20$

$x = \frac{20}{4}$

$x = 5$

Таким образом, скорость туриста пешком составляет 5 км/ч.

Теперь, зная скорость пешком, мы можем вычислить расстояние от станции до озера, подставив значение $x$ в любое из выражений для расстояния. Воспользуемся первым:

$S = 6 \cdot x = 6 \cdot 5 = 30$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя данные о поездке на велосипеде. Скорость на велосипеде: $5 + 10 = 15$ км/ч. Расстояние: $S = 15 \cdot 2 = 30$ км. Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 30 км.