Страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

413 Найдите натуральный корень уравнения:

а) $x(x-1) = 6$;

б) $x^2+x = 12$.

а) Дано уравнение $x(x - 1) = 6$. Требуется найти его натуральный корень, то есть положительное целое число.
Для решения преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x = 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
Теперь решим это уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Поскольку дискриминант положительный ($D = 25 = 5^2$), уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Из двух полученных корней ($3$ и $-2$) только $x=3$ является натуральным числом.
Ответ: 3

б) Дано уравнение $x^2 + x = 12$. Требуется найти его натуральный корень.
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся 12 в левую часть:
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-12$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Дискриминант положительный ($D = 49 = 7^2$), значит, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Согласно условию, мы ищем натуральный корень. Из двух корней ($3$ и $-4$) натуральным является только $x=3$.
Ответ: 3

414 Найдите все целые корни уравнения:

а) $x(x + 2) = 35;$

б) $x^2 + x = 6.$

Дано уравнение $x(x + 2) = 35$.

Чтобы найти все целые корни, сначала преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 2x = 35$

Теперь перенесем 35 в левую часть, чтобы получить ноль в правой:

$x^2 + 2x - 35 = 0$

Мы получили квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 2$, $c = -35$.

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Поскольку $D = 144 = 12^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Оба найденных корня, 5 и -7, являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Ответ: -7, 5.

Дано уравнение $x^2 + x = 6$.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D = 25 = 5^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корни уравнения, 2 и -3, являются целыми числами.

Ответ: -3, 2.

415 Найдите целые корни уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25$.

Для нахождения целых корней уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25$ можно использовать два способа.

Способ 1. Алгебраический.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + x^2 = 25$
$x^2 - 2x + 1 + x^2 = 25$
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть:
$2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0$
$2x^2 - 2x - 24 = 0$
Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - x - 12 = 0$
Получили приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 1, а произведение корней равно свободному члену, то есть -12.
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Подбором находим целые числа, удовлетворяющие этим условиям: это 4 и -3.
Проверка: $4 + (-3) = 1$ и $4 \cdot (-3) = -12$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Способ 2. Логический.
По условию, мы ищем целые корни, то есть $x \in \mathbb{Z}$. Это значит, что $x-1$ также является целым числом, и числа $x-1$ и $x$ являются последовательными.
Уравнение $(x-1)^2 + x^2 = 25$ означает, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 25.
Найдем пары квадратов целых чисел, которые в сумме дают 25. Возможные квадраты: $0^2=0, (\pm 1)^2=1, (\pm 2)^2=4, (\pm 3)^2=9, (\pm 4)^2=16, (\pm 5)^2=25$.
Единственная пара квадратов, дающая в сумме 25, это 9 и 16.
$9 + 16 = 25$
Это означает, что наши последовательные целые числа (взятые по модулю) — это 3 и 4.
Рассмотрим возможные случаи:
1. Если числа положительные, то это 3 и 4. Так как $x$ и $x-1$ последовательны, и $x > x-1$, то $x=4$ и $x-1=3$. Это дает корень $x=4$.
2. Если числа отрицательные, то это -3 и -4. Так как $x > x-1$, то $x=-3$ и $x-1=-4$. Это дает корень $x=-3$.
Таким образом, мы нашли два целых корня: 4 и -3.

Ответ: -3; 4.

416 Один из корней уравнения $\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11$ натуральный. Найдите его перебором.

Дано уравнение: $\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11$.

По условию задачи, один из корней является натуральным числом. Найдём его методом перебора.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x \neq 0$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Мы ищем натуральный корень, то есть $x$ должен принадлежать множеству $\{1, 2, 3, ...\}$. С учетом ОДЗ, $x$ не может быть равен 1. Поэтому начнем перебор с наименьшего подходящего натурального числа, то есть с $x=2$.

Подставим значение $x=2$ в левую часть уравнения, чтобы проверить, выполняется ли равенство:
$\frac{6}{2-1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{2+1} = \frac{6}{1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 6 + 3 + 2 = 11$.

В результате подстановки левая часть уравнения стала равна 11, что совпадает с правой частью. Равенство $11 = 11$ является верным.

Таким образом, $x=2$ является натуральным корнем данного уравнения. Задание выполнено.

Ответ: 2

417 Периметр прямоугольника, стороны которого выражены целым числом сантиметров, равен 28 см. Может ли его площадь быть равной $33 \text{ см}^2$? $40 \text{ см}^2$?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров. Согласно условию задачи, $a$ и $b$ являются целыми числами.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.
Площадь $S$ прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Из условия известно, что периметр равен 28 см. Подставим это значение в формулу периметра:
$2(a + b) = 28$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон:
$a + b = 14$

Теперь необходимо проверить, могут ли существовать такие целые стороны $a$ и $b$, чтобы их сумма была равна 14, а их произведение равнялось 33 или 40.

Может ли его площадь быть равной 33 см²?

Мы ищем два целых положительных числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе уравнений:
$a + b = 14$
$a \cdot b = 33$
Нам нужно найти два множителя числа 33, сумма которых равна 14. Рассмотрим целочисленные множители числа 33: это пары (1, 33) и (3, 11).
Проверим их сумму:
- Для пары (1, 33): $1 + 33 = 34$, что не равно 14.
- Для пары (3, 11): $3 + 11 = 14$. Это значение удовлетворяет нашему условию.
Таким образом, существует прямоугольник со сторонами 3 см и 11 см. Его периметр равен $2(3 + 11) = 28$ см, а площадь равна $3 \cdot 11 = 33$ см². Стороны выражены целыми числами, что соответствует условию задачи.
Ответ: да, может.

Может ли его площадь быть равной 40 см²?

Аналогично, проверим для площади 40 см². Мы ищем два целых положительных числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе:
$a + b = 14$
$a \cdot b = 40$
Рассмотрим целочисленные множители числа 40: это пары (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8).
Проверим их сумму:
- Для пары (1, 40): $1 + 40 = 41$, что не равно 14.
- Для пары (2, 20): $2 + 20 = 22$, что не равно 14.
- Для пары (4, 10): $4 + 10 = 14$. Это значение удовлетворяет нашему условию.
- Для пары (5, 8): $5 + 8 = 13$, что не равно 14.
Таким образом, существует прямоугольник со сторонами 4 см и 10 см. Его периметр равен $2(4 + 10) = 28$ см, а площадь равна $4 \cdot 10 = 40$ см². Стороны выражены целыми числами, что соответствует условию задачи.
Ответ: да, может.

418 В школе был проведён шахматный турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим одну партию. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 28 партий?

Пусть $n$ — искомое количество шахматистов, участвовавших в турнире.

По условию, в турнире каждый участник сыграл с каждым другим ровно одну партию. Это означает, что количество сыгранных партий равно числу всех возможных пар участников. Такое количество можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Всего было сыграно 28 партий, поэтому мы можем составить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 56$

Мы получили уравнение, которое можно решить как подбором, так и аналитически. Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Нетрудно догадаться, что это числа 8 и 7, так как $8 \cdot 7 = 56$. Отсюда следует, что $n=8$.

Для аналитического решения преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - n = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку количество участников турнира не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -7$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственное подходящее решение — $n_1 = 8$.

Ответ: в турнире участвовало 8 шахматистов.