Номер 414, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 414, страница 122.

414 Найдите все целые корни уравнения:

а) $x(x + 2) = 35;$

б) $x^2 + x = 6.$

а)

Дано уравнение $x(x + 2) = 35$.

Чтобы найти все целые корни, сначала преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 2x = 35$

Теперь перенесем 35 в левую часть, чтобы получить ноль в правой:

$x^2 + 2x - 35 = 0$

Мы получили квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 2$, $c = -35$.

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Поскольку $D = 144 = 12^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Оба найденных корня, 5 и -7, являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Ответ: -7, 5.

б)

Дано уравнение $x^2 + x = 6$.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D = 25 = 5^2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корни уравнения, 2 и -3, являются целыми числами.

Ответ: -3, 2.