Номер 412, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 412, страница 120.

412 Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, парикмахер сказал: «Посмотри, сколько денег в ящике стола, положи ещё столько же и возьми два рубля сдачи». То же сказал парикмахер и второму, и третьему. Когда они ушли, оказалось, что в ящике денег нет. Сколько денег было в ящике первоначально?

Эту задачу можно решить двумя способами: логически, рассуждая в обратном порядке (с конца), или алгебраически, составив уравнение. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Решение с конца

Мы знаем конечный результат (в ящике осталось 0 рублей) и будем выполнять действия в обратном порядке, чтобы найти начальное значение. Прямая операция, которую выполняет каждый мужчина, это «умножить на 2 и вычесть 2». Соответственно, обратная операция — «прибавить 2 и разделить на 2».

1. Действия третьего мужчины (в обратном порядке):
В ящике осталось 0 рублей. Сначала вернем 2 рубля, которые он взял в качестве сдачи: $0 + 2 = 2$ рубля. Затем разделим эту сумму на 2, отменив удвоение: $2 \div 2 = 1$ рубль. Это значит, что до прихода третьего мужчины в ящике был 1 рубль.

2. Действия второго мужчины (в обратном порядке):
Теперь мы знаем, что после ухода первого мужчины в ящике оставался 1 рубль. Выполним те же обратные действия: прибавим 2 рубля ($1 + 2 = 3$ рубля) и разделим на 2 ($3 \div 2 = 1,5$ рубля). Это значит, что до прихода второго мужчины в ящике было 1,5 рубля.

3. Действия первого мужчины (в обратном порядке):
Мы знаем, что изначально в ящике было 1,5 рубля. Снова выполним обратные действия: прибавим 2 рубля ($1,5 + 2 = 3,5$ рубля) и разделим на 2 ($3,5 \div 2 = 1,75$ рубля). Это и есть искомая первоначальная сумма.

Ответ: Первоначально в ящике было 1,75 рубля (то есть 1 рубль 75 копеек).

Способ 2: Решение с помощью уравнения

Обозначим первоначальную сумму денег в ящике через $x$. Проследим, как менялась сумма после каждого клиента.

1. После первого мужчины: он увидел $x$, положил еще $x$ (в ящике стало $2x$), и взял 2 рубля сдачи. В ящике осталось: $2x - 2$.

2. После второго мужчины: он увидел в ящике $(2x - 2)$, положил столько же (стало $2(2x - 2)$), и взял 2 рубля сдачи. В ящике осталось: $2(2x - 2) - 2 = 4x - 4 - 2 = 4x - 6$.

3. После третьего мужчины: он увидел в ящике $(4x - 6)$, положил столько же (стало $2(4x - 6)$), и взял 2 рубля сдачи. В ящике осталось: $2(4x - 6) - 2 = 8x - 12 - 2 = 8x - 14$.

По условию задачи, в конце в ящике денег не осталось. Следовательно, итоговая сумма равна нулю. Составим и решим уравнение:

$8x - 14 = 0$

$8x = 14$

$x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1,75$

Ответ: Первоначально в ящике было 1,75 рубля (то есть 1 рубль 75 копеек).