Номер 417, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 417, страница 122.

417 Периметр прямоугольника, стороны которого выражены целым числом сантиметров, равен 28 см. Может ли его площадь быть равной $33 \text{ см}^2$? $40 \text{ см}^2$?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров. Согласно условию задачи, $a$ и $b$ являются целыми числами.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.
Площадь $S$ прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Из условия известно, что периметр равен 28 см. Подставим это значение в формулу периметра:
$2(a + b) = 28$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон:
$a + b = 14$

Теперь необходимо проверить, могут ли существовать такие целые стороны $a$ и $b$, чтобы их сумма была равна 14, а их произведение равнялось 33 или 40.

Может ли его площадь быть равной 33 см²?

Мы ищем два целых положительных числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе уравнений:
$a + b = 14$
$a \cdot b = 33$
Нам нужно найти два множителя числа 33, сумма которых равна 14. Рассмотрим целочисленные множители числа 33: это пары (1, 33) и (3, 11).
Проверим их сумму:
- Для пары (1, 33): $1 + 33 = 34$, что не равно 14.
- Для пары (3, 11): $3 + 11 = 14$. Это значение удовлетворяет нашему условию.
Таким образом, существует прямоугольник со сторонами 3 см и 11 см. Его периметр равен $2(3 + 11) = 28$ см, а площадь равна $3 \cdot 11 = 33$ см². Стороны выражены целыми числами, что соответствует условию задачи.
Ответ: да, может.

Может ли его площадь быть равной 40 см²?

Аналогично, проверим для площади 40 см². Мы ищем два целых положительных числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе:
$a + b = 14$
$a \cdot b = 40$
Рассмотрим целочисленные множители числа 40: это пары (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8).
Проверим их сумму:
- Для пары (1, 40): $1 + 40 = 41$, что не равно 14.
- Для пары (2, 20): $2 + 20 = 22$, что не равно 14.
- Для пары (4, 10): $4 + 10 = 14$. Это значение удовлетворяет нашему условию.
- Для пары (5, 8): $5 + 8 = 13$, что не равно 14.
Таким образом, существует прямоугольник со сторонами 4 см и 10 см. Его периметр равен $2(4 + 10) = 28$ см, а площадь равна $4 \cdot 10 = 40$ см². Стороны выражены целыми числами, что соответствует условию задачи.
Ответ: да, может.