Номер 415, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 415, страница 122.

415 Найдите целые корни уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25$.

Для нахождения целых корней уравнения $(x-1)^2 + x^2 = 25$ можно использовать два способа.

Способ 1. Алгебраический.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + x^2 = 25$
$x^2 - 2x + 1 + x^2 = 25$
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть:
$2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0$
$2x^2 - 2x - 24 = 0$
Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - x - 12 = 0$
Получили приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 1, а произведение корней равно свободному члену, то есть -12.
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Подбором находим целые числа, удовлетворяющие этим условиям: это 4 и -3.
Проверка: $4 + (-3) = 1$ и $4 \cdot (-3) = -12$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Способ 2. Логический.
По условию, мы ищем целые корни, то есть $x \in \mathbb{Z}$. Это значит, что $x-1$ также является целым числом, и числа $x-1$ и $x$ являются последовательными.
Уравнение $(x-1)^2 + x^2 = 25$ означает, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 25.
Найдем пары квадратов целых чисел, которые в сумме дают 25. Возможные квадраты: $0^2=0, (\pm 1)^2=1, (\pm 2)^2=4, (\pm 3)^2=9, (\pm 4)^2=16, (\pm 5)^2=25$.
Единственная пара квадратов, дающая в сумме 25, это 9 и 16.
$9 + 16 = 25$
Это означает, что наши последовательные целые числа (взятые по модулю) — это 3 и 4.
Рассмотрим возможные случаи:
1. Если числа положительные, то это 3 и 4. Так как $x$ и $x-1$ последовательны, и $x > x-1$, то $x=4$ и $x-1=3$. Это дает корень $x=4$.
2. Если числа отрицательные, то это -3 и -4. Так как $x > x-1$, то $x=-3$ и $x-1=-4$. Это дает корень $x=-3$.
Таким образом, мы нашли два целых корня: 4 и -3.

Ответ: -3; 4.