Номер 418, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 418, страница 122.

418 В школе был проведён шахматный турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим одну партию. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 28 партий?

Пусть $n$ — искомое количество шахматистов, участвовавших в турнире.

По условию, в турнире каждый участник сыграл с каждым другим ровно одну партию. Это означает, что количество сыгранных партий равно числу всех возможных пар участников. Такое количество можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Всего было сыграно 28 партий, поэтому мы можем составить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 56$

Мы получили уравнение, которое можно решить как подбором, так и аналитически. Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Нетрудно догадаться, что это числа 8 и 7, так как $8 \cdot 7 = 56$. Отсюда следует, что $n=8$.

Для аналитического решения преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - n = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку количество участников турнира не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -7$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, единственное подходящее решение — $n_1 = 8$.

Ответ: в турнире участвовало 8 шахматистов.