Номер 411, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 411, страница 120.

411 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося пути, ему осталось пройти половину пути и ещё 1 версту. Какой путь осталось пройти путнику?

Для решения задачи введём переменную. Пусть весь путь, который должен был пройти путник, равен $S$ вёрст.

Согласно условию, путник прошёл 3 версты, после чего ему осталось пройти $(S - 3)$ вёрст. Затем он прошёл ещё треть этого остатка, то есть $\frac{1}{3}(S - 3)$ вёрст. Таким образом, весь пройденный путником путь $P$ составляет:

$P = 3 + \frac{1}{3}(S - 3)$

Также в условии сказано, что оставшийся путь $R$ равен половине всего пути и ещё 1 версте. Это можно записать в виде формулы:

$R = \frac{1}{2}S + 1$

Весь путь $S$ состоит из пройденной части $P$ и оставшейся части $R$, то есть $S = P + R$. Подставим в это равенство выражения для $P$ и $R$:

$S = \left(3 + \frac{1}{3}(S - 3)\right) + \left(\frac{1}{2}S + 1\right)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $S$. Сначала раскроем скобки:

$S = 3 + \frac{1}{3}S - \frac{3}{3} + \frac{1}{2}S + 1$

$S = 3 + \frac{1}{3}S - 1 + \frac{1}{2}S + 1$

$S = 3 + \frac{1}{3}S + \frac{1}{2}S$

Сгруппируем все слагаемые с переменной $S$ в левой части уравнения:

$S - \frac{1}{3}S - \frac{1}{2}S = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{6S}{6} - \frac{2S}{6} - \frac{3S}{6} = 3$

$\frac{6S - 2S - 3S}{6} = 3$

$\frac{1}{6}S = 3$

Отсюда находим общую длину пути $S$:

$S = 3 \times 6 = 18$

Итак, весь путь составляет 18 вёрст.

Основной вопрос задачи — какой путь осталось пройти путнику. Для этого найдём значение $R$, используя ранее выведенную формулу и найденное значение $S$:

$R = \frac{1}{2}S + 1 = \frac{1}{2} \times 18 + 1 = 9 + 1 = 10$

Таким образом, путнику осталось пройти 10 вёрст.

Ответ: 10 вёрст.