Номер 413, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 413, страница 122.

413 Найдите натуральный корень уравнения:

а) $x(x-1) = 6$;

б) $x^2+x = 12$.

а) Дано уравнение $x(x - 1) = 6$. Требуется найти его натуральный корень, то есть положительное целое число.
Для решения преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x = 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
Теперь решим это уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Поскольку дискриминант положительный ($D = 25 = 5^2$), уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Из двух полученных корней ($3$ и $-2$) только $x=3$ является натуральным числом.
Ответ: 3

б) Дано уравнение $x^2 + x = 12$. Требуется найти его натуральный корень.
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся 12 в левую часть:
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-12$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Дискриминант положительный ($D = 49 = 7^2$), значит, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Согласно условию, мы ищем натуральный корень. Из двух корней ($3$ и $-4$) натуральным является только $x=3$.
Ответ: 3