Номер 416, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 416, страница 122.

416 Один из корней уравнения $\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11$ натуральный. Найдите его перебором.

Дано уравнение: $\frac{6}{x-1} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 11$.

По условию задачи, один из корней является натуральным числом. Найдём его методом перебора.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x \neq 0$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Мы ищем натуральный корень, то есть $x$ должен принадлежать множеству $\{1, 2, 3, ...\}$. С учетом ОДЗ, $x$ не может быть равен 1. Поэтому начнем перебор с наименьшего подходящего натурального числа, то есть с $x=2$.

Подставим значение $x=2$ в левую часть уравнения, чтобы проверить, выполняется ли равенство:
$\frac{6}{2-1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{2+1} = \frac{6}{1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 6 + 3 + 2 = 11$.

В результате подстановки левая часть уравнения стала равна 11, что совпадает с правой частью. Равенство $11 = 11$ является верным.

Таким образом, $x=2$ является натуральным корнем данного уравнения. Задание выполнено.

Ответ: 2