Номер 410, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 410, страница 120.

410 у Пифагора однажды спросили, сколько у него учеников. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны природы, седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте ещё к ним трёх юношей, из коих Теон самый способный». Сколько было учеников у Пифагора?

$x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3$

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. Обозначим общее количество учеников у Пифагора через $x$.

Согласно его ответу, ученики делятся на следующие группы:

• Половина учеников изучает прекрасную математику, что составляет $\frac{1}{2}x$ или $\frac{x}{2}$.
• Четверть исследует тайны природы, что составляет $\frac{1}{4}x$ или $\frac{x}{4}$.
• Седьмая часть упражняет силу духа, что составляет $\frac{1}{7}x$ или $\frac{x}{7}$.
• Кроме того, есть ещё трое юношей.

Сложив все эти части, мы должны получить общее количество учеников $x$. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{7} + 3 = x$

Для решения уравнения перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовое значение оставим в правой:

$x - \frac{x}{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{7} = 3$

Теперь приведём дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 7 является 28. Для этого домножим каждую дробь на соответствующий множитель:

$\frac{28x}{28} - \frac{14x}{28} - \frac{7x}{28} - \frac{4x}{28} = 3$

Теперь объединим дроби в левой части:

$\frac{28x - 14x - 7x - 4x}{28} = 3$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{3x}{28} = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 28 и разделим на 3:

$3x = 3 \times 28$

$x = 28$

Мы нашли, что у Пифагора было 28 учеников. Проверим наш ответ, подставив значение $x=28$ в исходные данные:

• Математику изучают: $28 / 2 = 14$ учеников.
• Природу исследуют: $28 / 4 = 7$ учеников.
• Силу духа упражняют: $28 / 7 = 4$ ученика.
• И ещё 3 юноши.

Суммируем количество учеников во всех группах: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$.

Сумма совпадает с найденным нами общим числом учеников, следовательно, задача решена верно.

Ответ: у Пифагора было 28 учеников.