Страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

406 а) Когда цену товара увеличили на 30%, он стал стоить 520 р. Определите первоначальную стоимость товара.

б) Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 15%, после чего товар стал стоить 102 р. Какова была первоначальная стоимость товара?

а)

Обозначим первоначальную стоимость товара за $x$ рублей. Первоначальная стоимость составляет 100%. Когда цену увеличили на 30%, она стала составлять $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной. Чтобы выразить 130% в виде десятичной дроби, разделим проценты на 100: $130 / 100 = 1.3$. Таким образом, новая цена равна $x \cdot 1.3$.

По условию задачи, новая цена равна 520 р. Составим и решим уравнение:
$x \cdot 1.3 = 520$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 1.3:
$x = \frac{520}{1.3}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{5200}{13}$
$x = 400$

Следовательно, первоначальная стоимость товара была 400 рублей.

Ответ: 400 р.

б)

Обозначим первоначальную стоимость товара за $y$ рублей. Сначала цена выросла на 20%. Новая цена стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. В виде коэффициента это $1.2$. Цена после повышения: $y \cdot 1.2$.

Затем полученная цена снизилась на 15%. Теперь за 100% мы принимаем цену после повышения. Снижение на 15% означает, что итоговая цена составит $100\% - 15\% = 85\%$ от цены после повышения. В виде коэффициента это $0.85$. Итоговая цена: $(y \cdot 1.2) \cdot 0.85$.

По условию, итоговая цена равна 102 р. Составим уравнение:
$y \cdot 1.2 \cdot 0.85 = 102$

Упростим левую часть, перемножив коэффициенты:
$1.2 \cdot 0.85 = 1.02$
Уравнение принимает вид:
$y \cdot 1.02 = 102$

Теперь найдем $y$:
$y = \frac{102}{1.02}$
$y = \frac{10200}{102}$
$y = 100$

Таким образом, первоначальная стоимость товара была 100 рублей.

Ответ: 100 р.

407 Дима выиграл набор коллекционных марок; $1 \over 5$ этого набора он подарил брату, $1 \over 6$ — сестре, а остальные 19 марок оставил себе. Сколько марок было в наборе?

Для решения задачи необходимо определить, какую часть от всего набора составляют 19 марок, которые Дима оставил себе.

1. Сначала найдем, какую часть набора Дима подарил брату и сестре вместе. Для этого сложим доли, которые они получили:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 6 это 30.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{11}{30}$

Таким образом, Дима подарил $\frac{11}{30}$ всего набора марок.

2. Весь набор марок можно принять за 1 (или $\frac{30}{30}$). Найдем, какая часть набора осталась у Димы, вычтя из целого ту часть, которую он подарил:

$1 - \frac{11}{30} = \frac{30}{30} - \frac{11}{30} = \frac{19}{30}$

Итак, у Димы осталась $\frac{19}{30}$ часть набора, и по условию это составляет 19 марок.

3. Теперь, зная, что $\frac{19}{30}$ от общего количества марок равны 19, мы можем найти общее количество марок в наборе. Если 19 частей из 30 равны 19, то одна часть ($\frac{1}{30}$) равна $19 \div 19 = 1$ марке. А весь набор, состоящий из 30 таких частей, будет равен:

$1 \times 30 = 30$ марок.

Можно также составить уравнение, где $x$ — общее количество марок в наборе:

$\frac{19}{30}x = 19$

$x = 19 \div \frac{19}{30} = 19 \times \frac{30}{19} = 30$

Ответ: 30 марок.

408 Из корзины отсыпали половину орехов, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 орехов. Сколько орехов было в корзине первоначально?

Эту задачу проще всего решать "с конца", выполняя действия в обратном порядке.

В корзине осталось 10 орехов. Это произошло после того, как из нее в последний, четвертый раз, отсыпали половину. Значит, 10 орехов — это оставшаяся половина. Следовательно, до этого момента в корзине было:
$10 \times 2 = 20$ орехов.

Эти 20 орехов остались после третьего отсыпания, когда также взяли половину. Значит, до третьего отсыпания в корзине было:
$20 \times 2 = 40$ орехов.

В свою очередь, 40 орехов — это остаток после второго отсыпания (когда взяли половину от первого остатка). Значит, до второго отсыпания в корзине было:
$40 \times 2 = 80$ орехов.

Наконец, 80 орехов — это то, что осталось после самого первого отсыпания, когда взяли половину всех орехов. Следовательно, первоначальное количество орехов было:
$80 \times 2 = 160$ орехов.

Проверка:
1. Изначально 160 орехов. Отсыпали половину ($160/2=80$), осталось 80.
2. Было 80 орехов. Отсыпали половину ($80/2=40$), осталось 40.
3. Было 40 орехов. Отсыпали половину ($40/2=20$), осталось 20.
4. Было 20 орехов. Отсыпали половину ($20/2=10$), осталось 10.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: первоначально в корзине было 160 орехов.

409 Летит стая гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей, — ответил ему вожак стаи, — если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стае гусей?

Для решения этой задачи давайте обозначим неизвестное количество гусей в стае переменной $x$.

Вожак стаи говорит, что если сложить несколько групп гусей, то в сумме получится 100. Разберем его слова, чтобы составить уравнение:

«столько, сколько теперь» — это $x$;
«да ещё столько» — это еще $x$;
«да полстолько» — это половина от начального числа, то есть $\frac{1}{2}x$;
«да четверть столько» — это четверть от начального числа, то есть $\frac{1}{4}x$;
«да ещё ты, гусь, с нами» — это еще $1$ гусь.

Сложив все эти части, мы должны получить 100. Таким образом, получаем следующее уравнение: $x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение. Сначала сгруппируем все слагаемые с переменной $x$: $2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Чтобы сложить части с $x$, приведем их к общему знаменателю, который равен 4: $\frac{8}{4}x + \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Выполним сложение дробей: $\frac{8+2+1}{4}x + 1 = 100$ $\frac{11}{4}x + 1 = 100$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный: $\frac{11}{4}x = 100 - 1$ $\frac{11}{4}x = 99$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4 и разделим на 11: $x = \frac{99 \cdot 4}{11}$

Сократим 99 и 11 ( $99 \div 11 = 9$ ): $x = 9 \cdot 4$ $x = 36$

Таким образом, в стае было 36 гусей. Проверим: если к 36 гусям прибавить еще 36, затем половину от 36 (это 18), четверть от 36 (это 9) и еще одного гуся, то получится $36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 36 гусей.

410 у Пифагора однажды спросили, сколько у него учеников. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны природы, седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте ещё к ним трёх юношей, из коих Теон самый способный». Сколько было учеников у Пифагора?

$x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3$

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. Обозначим общее количество учеников у Пифагора через $x$.

Согласно его ответу, ученики делятся на следующие группы:

• Половина учеников изучает прекрасную математику, что составляет $\frac{1}{2}x$ или $\frac{x}{2}$.
• Четверть исследует тайны природы, что составляет $\frac{1}{4}x$ или $\frac{x}{4}$.
• Седьмая часть упражняет силу духа, что составляет $\frac{1}{7}x$ или $\frac{x}{7}$.
• Кроме того, есть ещё трое юношей.

Сложив все эти части, мы должны получить общее количество учеников $x$. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{7} + 3 = x$

Для решения уравнения перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовое значение оставим в правой:

$x - \frac{x}{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{7} = 3$

Теперь приведём дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 7 является 28. Для этого домножим каждую дробь на соответствующий множитель:

$\frac{28x}{28} - \frac{14x}{28} - \frac{7x}{28} - \frac{4x}{28} = 3$

Теперь объединим дроби в левой части:

$\frac{28x - 14x - 7x - 4x}{28} = 3$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{3x}{28} = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 28 и разделим на 3:

$3x = 3 \times 28$

$x = 28$

Мы нашли, что у Пифагора было 28 учеников. Проверим наш ответ, подставив значение $x=28$ в исходные данные:

• Математику изучают: $28 / 2 = 14$ учеников.
• Природу исследуют: $28 / 4 = 7$ учеников.
• Силу духа упражняют: $28 / 7 = 4$ ученика.
• И ещё 3 юноши.

Суммируем количество учеников во всех группах: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$.

Сумма совпадает с найденным нами общим числом учеников, следовательно, задача решена верно.

Ответ: у Пифагора было 28 учеников.

411 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося пути, ему осталось пройти половину пути и ещё 1 версту. Какой путь осталось пройти путнику?

Для решения задачи введём переменную. Пусть весь путь, который должен был пройти путник, равен $S$ вёрст.

Согласно условию, путник прошёл 3 версты, после чего ему осталось пройти $(S - 3)$ вёрст. Затем он прошёл ещё треть этого остатка, то есть $\frac{1}{3}(S - 3)$ вёрст. Таким образом, весь пройденный путником путь $P$ составляет:

$P = 3 + \frac{1}{3}(S - 3)$

Также в условии сказано, что оставшийся путь $R$ равен половине всего пути и ещё 1 версте. Это можно записать в виде формулы:

$R = \frac{1}{2}S + 1$

Весь путь $S$ состоит из пройденной части $P$ и оставшейся части $R$, то есть $S = P + R$. Подставим в это равенство выражения для $P$ и $R$:

$S = \left(3 + \frac{1}{3}(S - 3)\right) + \left(\frac{1}{2}S + 1\right)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $S$. Сначала раскроем скобки:

$S = 3 + \frac{1}{3}S - \frac{3}{3} + \frac{1}{2}S + 1$

$S = 3 + \frac{1}{3}S - 1 + \frac{1}{2}S + 1$

$S = 3 + \frac{1}{3}S + \frac{1}{2}S$

Сгруппируем все слагаемые с переменной $S$ в левой части уравнения:

$S - \frac{1}{3}S - \frac{1}{2}S = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{6S}{6} - \frac{2S}{6} - \frac{3S}{6} = 3$

$\frac{6S - 2S - 3S}{6} = 3$

$\frac{1}{6}S = 3$

Отсюда находим общую длину пути $S$:

$S = 3 \times 6 = 18$

Итак, весь путь составляет 18 вёрст.

Основной вопрос задачи — какой путь осталось пройти путнику. Для этого найдём значение $R$, используя ранее выведенную формулу и найденное значение $S$:

$R = \frac{1}{2}S + 1 = \frac{1}{2} \times 18 + 1 = 9 + 1 = 10$

Таким образом, путнику осталось пройти 10 вёрст.

Ответ: 10 вёрст.

412 Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, парикмахер сказал: «Посмотри, сколько денег в ящике стола, положи ещё столько же и возьми два рубля сдачи». То же сказал парикмахер и второму, и третьему. Когда они ушли, оказалось, что в ящике денег нет. Сколько денег было в ящике первоначально?

Эту задачу можно решить двумя способами: логически, рассуждая в обратном порядке (с конца), или алгебраически, составив уравнение. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Решение с конца

Мы знаем конечный результат (в ящике осталось 0 рублей) и будем выполнять действия в обратном порядке, чтобы найти начальное значение. Прямая операция, которую выполняет каждый мужчина, это «умножить на 2 и вычесть 2». Соответственно, обратная операция — «прибавить 2 и разделить на 2».

1. Действия третьего мужчины (в обратном порядке):
В ящике осталось 0 рублей. Сначала вернем 2 рубля, которые он взял в качестве сдачи: $0 + 2 = 2$ рубля. Затем разделим эту сумму на 2, отменив удвоение: $2 \div 2 = 1$ рубль. Это значит, что до прихода третьего мужчины в ящике был 1 рубль.

2. Действия второго мужчины (в обратном порядке):
Теперь мы знаем, что после ухода первого мужчины в ящике оставался 1 рубль. Выполним те же обратные действия: прибавим 2 рубля ($1 + 2 = 3$ рубля) и разделим на 2 ($3 \div 2 = 1,5$ рубля). Это значит, что до прихода второго мужчины в ящике было 1,5 рубля.

3. Действия первого мужчины (в обратном порядке):
Мы знаем, что изначально в ящике было 1,5 рубля. Снова выполним обратные действия: прибавим 2 рубля ($1,5 + 2 = 3,5$ рубля) и разделим на 2 ($3,5 \div 2 = 1,75$ рубля). Это и есть искомая первоначальная сумма.

Ответ: Первоначально в ящике было 1,75 рубля (то есть 1 рубль 75 копеек).

Способ 2: Решение с помощью уравнения

Обозначим первоначальную сумму денег в ящике через $x$. Проследим, как менялась сумма после каждого клиента.

1. После первого мужчины: он увидел $x$, положил еще $x$ (в ящике стало $2x$), и взял 2 рубля сдачи. В ящике осталось: $2x - 2$.

2. После второго мужчины: он увидел в ящике $(2x - 2)$, положил столько же (стало $2(2x - 2)$), и взял 2 рубля сдачи. В ящике осталось: $2(2x - 2) - 2 = 4x - 4 - 2 = 4x - 6$.

3. После третьего мужчины: он увидел в ящике $(4x - 6)$, положил столько же (стало $2(4x - 6)$), и взял 2 рубля сдачи. В ящике осталось: $2(4x - 6) - 2 = 8x - 12 - 2 = 8x - 14$.

По условию задачи, в конце в ящике денег не осталось. Следовательно, итоговая сумма равна нулю. Составим и решим уравнение:

$8x - 14 = 0$

$8x = 14$

$x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1,75$

Ответ: Первоначально в ящике было 1,75 рубля (то есть 1 рубль 75 копеек).