Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

429 За два художественных альбома заплатили 344 р., причём один альбом стоил на 15% дороже, чем другой. Определите цену каждого альбома.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ рублей — цена более дешевого альбома.

По условию, второй альбом стоил на 15% дороже. Чтобы найти 15% от числа, нужно умножить это число на 0,15. Значит, второй альбом стоил на $0,15x$ рублей дороже.

Цена второго альбома составляет $x + 0,15x = 1,15x$ рублей.

Общая стоимость двух альбомов равна 344 рубля. Составим уравнение, сложив цены двух альбомов:

$x + 1,15x = 344$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2,15x = 344$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,15:

$x = \frac{344}{2,15}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{34400}{215}$

$x = 160$

Таким образом, цена более дешевого альбома составляет 160 рублей.

Теперь определим цену второго, более дорогого, альбома:

$1,15 \cdot x = 1,15 \cdot 160 = 184$ рубля.

Проверим: сумма цен двух альбомов должна быть равна 344 рубля.

$160 + 184 = 344$

Равенство выполняется, значит, цены найдены верно.

Ответ: цена одного альбома — 160 рублей, цена другого — 184 рубля.

430 Фотоаппарат дороже фотоплёнки в 12 раз. Сколько стоит фотоаппарат и сколько фотоплёнка, если за 2 фотоаппарата и 6 фотоплёнок заплатили 2250 р.?

Для решения этой задачи можно использовать метод составления уравнения или решение по частям. Рассмотрим решение по частям, так как оно нагляднее.

1. Примем стоимость одной фотоплёнки за 1 условную часть.

2. Согласно условию, фотоаппарат дороже фотоплёнки в 12 раз. Значит, стоимость одного фотоаппарата составляет 12 таких же частей.

3. Вычислим, сколько всего частей составляет стоимость покупки (2 фотоаппаратов и 6 фотоплёнок):

Стоимость 2 фотоаппаратов: $2 \cdot 12 \text{ частей} = 24 \text{ части}$.
Стоимость 6 фотоплёнок: $6 \cdot 1 \text{ часть} = 6 \text{ частей}$.
Общая стоимость в частях: $24 + 6 = 30 \text{ частей}$.

4. Мы знаем, что общая стоимость покупки составляет 2250 рублей. Эти 2250 рублей соответствуют 30 условным частям. Теперь мы можем найти, сколько рублей приходится на одну часть (т.е. стоимость одной фотоплёнки):

$2250 \text{ р.} : 30 \text{ частей} = 75 \text{ р./часть}$.

Следовательно, стоимость одной фотоплёнки равна 75 рублям.

5. Теперь найдём стоимость одного фотоаппарата. Его стоимость составляет 12 частей:

$12 \text{ частей} \cdot 75 \text{ р./часть} = 900 \text{ рублей}$.

Таким образом, стоимость одного фотоаппарата равна 900 рублям.

Проверка:
Стоимость 2 фотоаппаратов: $2 \cdot 900 = 1800$ р.
Стоимость 6 фотоплёнок: $6 \cdot 75 = 450$ р.
Общая сумма: $1800 + 450 = 2250$ р.

Ответ: фотоаппарат стоит 900 рублей, а фотоплёнка — 75 рублей.

431 Несколько друзей хотят купить волейбольный мяч. Если каждый из них даст 20 р., то на покупку не хватит 40 р. Если же каждый даст 30 р., то у них останется 60 р. Сколько было друзей? Сколько стоит мяч?

Сколько было друзей?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество друзей, а $y$ — стоимость волейбольного мяча в рублях.

Из первого условия известно, что если каждый из $x$ друзей даст по 20 рублей, то им не хватит 40 рублей для покупки. Это можно записать в виде уравнения:
$y = 20x + 40$

Из второго условия известно, что если каждый из $x$ друзей даст по 30 рублей, то у них останется 60 рублей. Это можно выразить вторым уравнением:
$y = 30x - 60$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (это стоимость мяча $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество друзей $x$:
$20x + 40 = 30x - 60$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$40 + 60 = 30x - 20x$
$100 = 10x$
$x = \frac{100}{10}$
$x = 10$
Следовательно, всего было 10 друзей.
Ответ: 10 друзей.

Сколько стоит мяч?

Теперь, зная количество друзей ($x=10$), мы можем найти стоимость мяча ($y$), подставив значение $x$ в любое из двух первоначальных уравнений.

Подставим значение $x=10$ в первое уравнение:
$y = 20x + 40$
$y = 20 \cdot 10 + 40$
$y = 200 + 40$
$y = 240$
Для проверки подставим значение $x=10$ во второе уравнение:
$y = 30x - 60$
$y = 30 \cdot 10 - 60$
$y = 300 - 60$
$y = 240$
Оба уравнения дают одинаковый результат. Следовательно, стоимость мяча составляет 240 рублей.
Ответ: 240 рублей.

432 В магазине смешали конфеты по 110 р. и по 150 р. за килограмм и получили смесь по 120 р. за килограмм. Сколько конфет того и другого сорта содержится в килограмме смеси?

Для решения задачи составим систему уравнений. Обозначим за $x$ массу (в кг) конфет по цене 110 рублей за килограмм, а за $y$ — массу (в кг) конфет по цене 150 рублей за килограмм в итоговой смеси.

По условию, мы ищем состав одного килограмма смеси, поэтому общая масса конфет равна 1 кг. Следовательно, мы можем записать первое уравнение:

$x + y = 1$

Общая стоимость 1 кг смеси составляет 120 рублей. Стоимость конфет первого сорта в смеси равна $110x$ рублей, а второго сорта — $150y$ рублей. Сумма их стоимостей должна быть равна общей стоимости смеси. Это дает нам второе уравнение:

$110x + 150y = 120$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 1 \\ 110x + 150y = 120 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 1 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$110x + 150(1 - x) = 120$

Теперь решим это уравнение относительно $x$, раскрыв скобки:

$110x + 150 - 150x = 120$

Приведем подобные слагаемые:

$150 - 40x = 120$

$-40x = 120 - 150$

$-40x = -30$

$x = \frac{-30}{-40} = \frac{3}{4}$

Итак, масса конфет по цене 110 рублей в смеси составляет $x = 0,75$ кг.

Теперь найдем массу конфет второго сорта, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1 - x = 1 - 0,75 = 0,25$

Масса конфет по цене 150 рублей в смеси составляет $y = 0,25$ кг.

Можно выразить эти массы в граммах: $0,75 \text{ кг} = 750 \text{ г}$ и $0,25 \text{ кг} = 250 \text{ г}$.

Ответ: в килограмме смеси содержится 0,75 кг (750 г) конфет по 110 р. и 0,25 кг (250 г) конфет по 150 р.

433 Дима сказал: «Толя в 2 раза старше меня. В то же время я на 4 года младше Коли, а Коля на 4 года младше Толи».

Сколько лет Диме?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие возраст каждого из мальчиков. Пусть $Д$ — это возраст Димы, $Т$ — возраст Толи, а $К$ — возраст Коли.

Основываясь на словах Димы, составим систему уравнений:

1. «Толя в 2 раза старше меня». Это утверждение можно записать в виде формулы:
$Т = 2 \cdot Д$

2. «я на 4 года младше Коли». Это означает, что возраст Димы меньше возраста Коли на 4 года:
$Д = К - 4$, или, что то же самое, $К = Д + 4$

3. «Коля на 4 года младше Толи». Это означает, что возраст Коли меньше возраста Толи на 4 года:
$К = Т - 4$

Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить, чтобы найти $Д$.
Из второго и третьего уравнений следует, что $Д + 4$ и $Т - 4$ равны одному и тому же значению $К$. Следовательно, мы можем их приравнять:
$Д + 4 = Т - 4$

В это уравнение подставим значение $Т$ из первого уравнения ($Т = 2Д$):
$Д + 4 = (2Д) - 4$

Теперь решим полученное уравнение с одной неизвестной $Д$. Перенесем все слагаемые с переменной $Д$ в одну сторону, а числа — в другую:
$4 + 4 = 2Д - Д$
$8 = Д$

Таким образом, возраст Димы составляет 8 лет.

Проверим, выполняются ли все условия.
Если Диме 8 лет ($Д=8$), то Толе $Т = 2 \cdot 8 = 16$ лет.
Коле $К = Д + 4 = 8 + 4 = 12$ лет.
При этом условие, что Коля на 4 года младше Толи, также выполняется: $12 = 16 - 4$.
Все утверждения Димы верны.

Ответ: 8 лет.

434 а) Антон младше своего брата на 4 года и в 5 раз младше своей матери. А его брат в 4 раза младше отца. Сколько лет каждому из братьев, если всем четверым вместе 86 лет?

б) Ольга младше своего мужа на 8 лет. Её сын старше её дочери на 5 лет и младше Ольги в 4 раза. Сколько лет каждому, если всем четверым вместе 73 года?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть возраст Антона будет $x$ лет.

Исходя из условий задачи, выразим возраст каждого члена семьи через $x$:
Антон младше своего брата на 4 года, следовательно, возраст брата равен $x + 4$ лет.
Антон в 5 раз младше своей матери, следовательно, возраст матери равен $5x$ лет.
Брат Антона в 4 раза младше отца, следовательно, возраст отца равен $4 \cdot (x + 4) = 4x + 16$ лет.

Сумма возрастов всех четверых составляет 86 лет. Составим уравнение, сложив выражения для возрастов:
$x + (x + 4) + 5x + (4x + 16) = 86$

Теперь решим это уравнение:
$x + x + 4 + 5x + 4x + 16 = 86$
Приведем подобные слагаемые:
$(x + x + 5x + 4x) + (4 + 16) = 86$
$11x + 20 = 86$
Перенесем 20 в правую часть уравнения:
$11x = 86 - 20$
$11x = 66$
Найдем $x$:
$x = 66 \div 11$
$x = 6$

Таким образом, возраст Антона — 6 лет.
Найдем возраст его брата:
$x + 4 = 6 + 4 = 10$ лет.

Для проверки: возраст матери $5 \cdot 6 = 30$ лет, возраст отца $4 \cdot 10 = 40$ лет. Сумма возрастов: $6 + 10 + 30 + 40 = 86$ лет, что соответствует условию задачи.

Ответ: Антону 6 лет, его брату 10 лет.

б)

Для решения этой задачи также введем переменную. Удобнее всего выразить все возрасты через возраст сына. Пусть возраст сына будет $y$ лет.

Исходя из условий, выразим возраст остальных членов семьи через $y$:
Сын младше Ольги в 4 раза, значит, возраст Ольги равен $4y$ лет.
Сын старше своей сестры (дочери Ольги) на 5 лет, значит, возраст дочери равен $y - 5$ лет.
Ольга младше своего мужа на 8 лет, значит, возраст мужа равен $4y + 8$ лет.

Сумма возрастов всех четверых составляет 73 года. Составим уравнение:
$4y + (4y + 8) + y + (y - 5) = 73$

Теперь решим это уравнение:
$4y + 4y + 8 + y + y - 5 = 73$
Приведем подобные слагаемые:
$(4y + 4y + y + y) + (8 - 5) = 73$
$10y + 3 = 73$
Перенесем 3 в правую часть уравнения:
$10y = 73 - 3$
$10y = 70$
Найдем $y$:
$y = 70 \div 10$
$y = 7$

Таким образом, возраст сына — 7 лет.
Теперь найдем возраст остальных членов семьи:
Возраст Ольги: $4y = 4 \cdot 7 = 28$ лет.
Возраст мужа: $4y + 8 = 28 + 8 = 36$ лет.
Возраст дочери: $y - 5 = 7 - 5 = 2$ года.

Для проверки сложим все возрасты: $28 + 36 + 7 + 2 = 73$ года, что соответствует условию задачи.

Ответ: Ольге 28 лет, её мужу 36 лет, сыну 7 лет, дочери 2 года.

435 а) Брат старше сестры в 3 раза, а через 10 лет он будет старше сестры в 2 раза. Сколько лет брату, сколько сестре?

б) Отец старше сына на 24 года, а через 5 лет он будет старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, сколько сыну?

а)

Обозначим текущий возраст сестры за $x$ лет. Согласно условию, брат старше сестры в 3 раза, следовательно, его возраст составляет $3x$ лет.

Через 10 лет возраст сестры будет $(x + 10)$ лет, а возраст брата — $(3x + 10)$ лет.

В это время брат будет старше сестры в 2 раза. На основе этого составим уравнение:

$3x + 10 = 2 \cdot (x + 10)$

Теперь решим это уравнение:

$3x + 10 = 2x + 20$

$3x - 2x = 20 - 10$

$x = 10$

Таким образом, текущий возраст сестры — 10 лет.

Найдем текущий возраст брата:

$3x = 3 \cdot 10 = 30$ лет.

Проверим: сейчас брату 30, сестре 10 (30 в 3 раза больше 10). Через 10 лет брату будет 40, а сестре 20 (40 в 2 раза больше 20). Все условия задачи выполняются.

Ответ: брату 30 лет, сестре 10 лет.

б)

Обозначим текущий возраст сына за $y$ лет. Поскольку отец старше сына на 24 года, его возраст составляет $(y + 24)$ лет.

Через 5 лет возраст сына будет $(y + 5)$ лет, а возраст отца — $(y + 24) + 5 = (y + 29)$ лет.

В это время отец будет старше сына в 4 раза. Составим уравнение:

$y + 29 = 4 \cdot (y + 5)$

Решим полученное уравнение:

$y + 29 = 4y + 20$

$29 - 20 = 4y - y$

$9 = 3y$

$y = \frac{9}{3}$

$y = 3$

Следовательно, текущий возраст сына — 3 года.

Найдем текущий возраст отца:

$y + 24 = 3 + 24 = 27$ лет.

Проверим: сейчас отцу 27, сыну 3 (27 на 24 больше 3). Через 5 лет отцу будет 32, а сыну 8 (32 в 4 раза больше 8). Все условия задачи выполняются.

Ответ: отцу 27 лет, сыну 3 года.

1 Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

Что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения (или его решением) называется такое числовое значение переменной (или переменных), при подстановке которого в исходное уравнение оно превращается в верное числовое равенство.

Например, рассмотрим линейное уравнение с одной переменной $x$: $3x - 6 = 0$. Число $2$ является корнем этого уравнения, потому что если подставить $x=2$ в уравнение, мы получим: $3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$. Равенство $0=0$ является верным, следовательно, $x=2$ — корень уравнения.

Если мы попробуем подставить другое число, например $x=1$, то получим: $3 \cdot 1 - 6 = 3 - 6 = -3$. Равенство $-3=0$ является неверным, значит, $x=1$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней. Совокупность всех корней уравнения называется его решением.

Процесс решения может привести к одному из следующих результатов:

1. Уравнение имеет конечное число корней. Например, уравнение $x^2 = 4$ имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Решить это уравнение — значит найти оба этих числа.

2. Уравнение не имеет корней. Например, уравнение $x + 5 = x$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получится неверное числовое равенство $5 = 0$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Говорят, что множество решений такого уравнения пустое ($\emptyset$).

3. Уравнение имеет бесконечное множество корней. Например, уравнение $2(x+1) = 2x + 2$ является верным для любого значения $x$. После раскрытия скобок мы получаем тождество $2x+2 = 2x+2$. Решением такого уравнения является любое число.

Таким образом, решение уравнения — это полная характеристика множества его корней.

Ответ: Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их не существует.

2. Сформулируйте два основных правила преобразования уравнений.

Существует два основных правила, которые позволяют преобразовывать уравнения, получая новые уравнения, равносильные исходным (то есть имеющие те же самые корни). Эти преобразования являются основой для решения большинства алгебраических уравнений.

Первое правило (перенос слагаемых)

Это правило гласит, что любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование не меняет множества корней уравнения.

Формально, это правило основано на свойстве числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение, то равенство останется верным.

Пример:
Рассмотрим уравнение $5x - 4 = 16$.
Чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$, нам нужно перенести число $-4$ из левой части в правую. Согласно правилу, мы меняем его знак с "минус" на "плюс":
$5x = 16 + 4$
$5x = 20$
Это действие равносильно прибавлению числа 4 к обеим частям исходного уравнения:
$(5x - 4) + 4 = 16 + 4$
$5x = 20$

Ответ: Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Второе правило (умножение или деление на число)

Это правило утверждает, что обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение, отличное от нуля. В результате получится уравнение, равносильное исходному.

Крайне важно помнить, что умножать или делить можно только на ненулевое значение. Деление на ноль не определено в математике, а умножение обеих частей на ноль может привести к неверному результату (например, уравнение $x=2$ превратится в тождество $0=0$, которому удовлетворяет любое число, а не только 2), то есть к появлению посторонних корней.

Пример:
Вернемся к уравнению, полученному после применения первого правила: $5x = 20$.
Чтобы найти $x$, нам нужно избавиться от коэффициента 5. Для этого разделим обе части уравнения на 5 (так как $5 \ne 0$):
$\frac{5x}{5} = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Рассмотрим другой пример: $\frac{x}{7} = 3$.
Здесь, чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 7 (так как $7 \ne 0$):
$\frac{x}{7} \cdot 7 = 3 \cdot 7$
$x = 21$

Ответ: Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

3 Опишите по шагам решение уравнения $5(x - 4) = 3x + 10.$

Для решения данного линейного уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Раскрыть скобки
В левой части уравнения находится выражение $5(x - 4)$. Применим распределительный закон умножения $a(b - c) = ab - ac$. Для этого умножим число 5 на каждый член в скобках:
$5 \cdot x - 5 \cdot 4 = 3x + 10$
После выполнения умножения уравнение примет вид:
$5x - 20 = 3x + 10$

Шаг 2. Сгруппировать слагаемые
Необходимо собрать все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения (обычно в левой), а все постоянные члены (числа) — в другой (в правой). Для этого перенесем $3x$ из правой части в левую, изменив его знак на минус, а $-20$ — из левой в правую, изменив его знак на плюс:
$5x - 3x = 10 + 20$

Шаг 3. Привести подобные слагаемые
Упростим обе части уравнения, выполнив арифметические операции:
В левой части: $5x - 3x = 2x$
В правой части: $10 + 20 = 30$
В результате получаем более простое уравнение:
$2x = 30$

Шаг 4. Найти корень уравнения
Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 2:
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$

Шаг 5. Проверка решения
Для проверки подставим найденное значение $x=15$ в исходное уравнение:
$5(15 - 4) = 3 \cdot 15 + 10$
$5 \cdot 11 = 45 + 10$
$55 = 55$
Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $15$.

4 Какое уравнение называется линейным? Приведите пример линейного уравнения.

Какое уравнение называется линейным?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно представить в виде $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Коэффициент $a$ — это множитель при переменной, а $b$ — это свободный член. Любое уравнение, которое с помощью тождественных преобразований (например, перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака, приведение подобных слагаемых) приводится к такому виду, также является линейным.

Анализ уравнения $ax = b$ показывает, что оно может иметь разное количество решений в зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$:

1. Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень, который находится по формуле $x = \frac{b}{a}$.

2. Если $a = 0$ и $b \ne 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно при любом значении $x$, поэтому уравнение не имеет корней.

3. Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$, поэтому уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является корнем).

Ответ: Линейным уравнением называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа.

Приведите пример линейного уравнения.

Рассмотрим в качестве примера следующее уравнение: $5x - 8 = 2x + 4$.

Это уравнение является линейным, так как его можно привести к стандартному виду $ax = b$. Для этого выполним последовательность преобразований.

Шаг 1: Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые (свободные члены) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$5x - 2x = 4 + 8$

Шаг 2: Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения.
$(5-2)x = 12$
$3x = 12$

В результате мы получили уравнение $3x = 12$, которое имеет стандартный вид $ax=b$, где $a=3$ и $b=12$.

Шаг 3: Найдем корень уравнения, разделив обе его части на коэффициент при переменной, то есть на 3.
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Ответ: Примером линейного уравнения является $5x - 8 = 2x + 4$, его корень равен $x=4$.

5 Разъясните суть алгебраического метода решения задач на примере следующей задачи:

«Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

Алгебраический метод решения задач — это способ, при котором условия задачи, изложенные на обычном языке, переводятся на язык математики, то есть составляется математическая модель. Суть метода заключается в выполнении нескольких последовательных шагов:

1. Введение неизвестной. Одна или несколько неизвестных величин в задаче обозначаются буквами (например, $x$, $y$, $z$).

2. Составление уравнения. Используя введенные переменные, условия задачи записываются в виде одного или нескольких уравнений (или неравенств).

3. Решение уравнения. Полученное уравнение решается стандартными алгебраическими методами, чтобы найти значение неизвестной переменной.

4. Интерпретация результата. Найденное значение переменной проверяется на соответствие условиям задачи и дается ответ на ее вопрос.

Разберем этот метод на примере указанной задачи: «Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

Этап 1: Введение переменной
Пусть $x$ — это число, которое задумал ученик. Это наша неизвестная величина.

Этап 2: Составление математической модели (уравнения)
Переведем каждое действие из условия задачи в математические выражения:
- «умножил его на 4» соответствует выражению $4x$.
- «из результата вычел 5» соответствует выражению $4x - 5$.
- «получил удвоенное задуманное число» означает, что итоговый результат равен $2x$.
Теперь мы можем приравнять выражение, описывающее действия ученика, к итоговому результату. Так мы получим уравнение:
$4x - 5 = 2x$

Этап 3: Решение уравнения
Решим составленное уравнение относительно $x$.
Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$4x - 2x = 5$
Упростим левую часть:
$2x = 5$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{5}{2}$
$x = 2.5$

Этап 4: Проверка и формулировка ответа
Мы нашли, что задуманное число равно 2.5. Сделаем проверку, выполнив все действия из условия задачи с этим числом:
1. Задумано число 2.5.
2. Умножаем на 4: $2.5 \cdot 4 = 10$.
3. Вычитаем 5: $10 - 5 = 5$.
Результат равен 5. По условию, он должен быть равен удвоенному задуманному числу. Удвоенное задуманное число: $2 \cdot 2.5 = 5$.
Поскольку $5 = 5$, результат совпал. Это значит, что уравнение решено верно.
Следовательно, ученик задумал число 2.5.
Ответ: 2.5.