Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

438 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству:

а) $4 \le x \le 10$;

б) $-15 \le x \le 27$;

в) $8 < x < 11$.

а) Двойное неравенство $4 \le x \le 10$ задает множество всех чисел, которые больше или равны 4 и одновременно меньше или равны 10. На координатной прямой это множество точек представляет собой числовой отрезок.
Чтобы изобразить его, необходимо отметить на прямой точки 4 и 10. Поскольку неравенство нестрогое (знаки $\le$), обе точки включаются в искомое множество и изображаются закрашенными кружками. Промежуток между этими точками штрихуется.

Ответ: $[4; 10]$.

б) Двойное неравенство $-15 \le x < 27$ задает множество всех чисел, которые больше или равны -15 и одновременно строго меньше 27. На координатной прямой это множество является полуинтервалом.
Для его изображения отмечают точки -15 и 27. Точка -15 включается в множество (неравенство $x \ge -15$ нестрогое) и обозначается закрашенным кружком. Точка 27 не включается в множество (неравенство $x < 27$ строгое) и обозначается пустым (выколотым) кружком. Промежуток между этими точками штрихуется.

Ответ: $[-15; 27)$.

в) Двойное неравенство $8 < x < 11$ задает множество всех чисел, которые строго больше 8 и строго меньше 11. На координатной прямой это множество является интервалом.
Для его изображения отмечают точки 8 и 11. Поскольку неравенство строгое (знаки < ), обе точки не включаются в множество и изображаются пустыми (выколотыми) кружками. Промежуток между этими точками штрихуется.

Ответ: $(8; 11)$.

439 Изобразите на координатной прямой промежуток:

а) $x < -4$;

б) $x \geq -12$;

в) $x \leq -10$;

г) $x > 100$;

д) $-30 < x < 30$;

е) $-37 \leq x \leq 54$.

а) Для того чтобы изобразить промежуток $x < -4$ на координатной прямой, нужно выполнить следующие шаги:
1. Начертить координатную прямую.
2. Отметить на ней точку с координатой -4. Поскольку неравенство строгое (знак <), точка -4 не входит в промежуток, и мы изображаем ее "выколотой" (пустым кружочком).
3. Так как $x$ должен быть меньше -4, заштриховать на прямой все числа, которые находятся левее точки -4.
Этот промежуток представляет собой открытый луч от $-\infty$ до -4.
Ответ: $(-\infty; -4)$.

б) Для того чтобы изобразить промежуток $x \ge -12$ на координатной прямой:
1. Начертим координатную прямую.
2. Отметим на ней точку с координатой -12. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\ge$), точка -12 входит в промежуток, и мы изображаем ее закрашенной (сплошным кружочком).
3. Так как $x$ должен быть больше или равен -12, заштрихуем на прямой саму точку -12 и все числа, которые находятся правее нее.
Этот промежуток представляет собой луч от -12 до $+\infty$, включая точку -12.
Ответ: $[-12; +\infty)$.

в) Для того чтобы изобразить промежуток $x \le -10$ на координатной прямой:
1. Начертим координатную прямую.
2. Отметим на ней точку с координатой -10. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\le$), точка -10 входит в промежуток, поэтому изображаем ее закрашенной.
3. Так как $x$ должен быть меньше или равен -10, заштрихуем на прямой саму точку -10 и все числа, которые находятся левее нее.
Этот промежуток представляет собой луч от $-\infty$ до -10, включая точку -10.
Ответ: $(-\infty; -10]$.

г) Для того чтобы изобразить промежуток $x > 100$ на координатной прямой:
1. Начертим координатную прямую.
2. Отметим на ней точку с координатой 100. Поскольку неравенство строгое (знак $>$), точка 100 не входит в промежуток, и мы изображаем ее "выколотой".
3. Так как $x$ должен быть больше 100, заштрихуем на прямой все числа, которые находятся правее точки 100.
Этот промежуток представляет собой открытый луч от 100 до $+\infty$.
Ответ: $(100; +\infty)$.

д) Для того чтобы изобразить промежуток $-30 < x < 30$ на координатной прямой:
1. Начертим координатную прямую.
2. Отметим на ней точки с координатами -30 и 30. Поскольку оба неравенства строгие (знаки <), обе точки не входят в промежуток, и мы изображаем их "выколотыми".
3. Так как $x$ должен быть больше -30 и одновременно меньше 30, заштрихуем на прямой все числа, которые находятся между точками -30 и 30.
Этот промежуток называется интервалом.
Ответ: $(-30; 30)$.

е) Для того чтобы изобразить промежуток $-37 \le x \le 54$ на координатной прямой:
1. Начертим координатную прямую.
2. Отметим на ней точки с координатами -37 и 54. Поскольку оба неравенства нестрогие (знаки $\le$), обе точки входят в промежуток, и мы изображаем их закрашенными.
3. Так как $x$ должен быть больше или равен -37 и одновременно меньше или равен 54, заштрихуем на прямой все числа, которые находятся между точками -37 и 54, включая сами эти точки.
Этот промежуток называется отрезком.
Ответ: $[-37; 54]$.

440 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Опишите на алгебраическом языке промежутки, изображённые на рисунке 5.7, а—е.

а) $x \ge -0.5$

б) $x < 0$

в) $- \frac{1}{3} < x < 1$

г) $x \le 1.3$

д) $-0.3 \le x \le 0$

е) $x > \frac{3}{4}$

Рис. 5.7

а) На рисунке изображен числовой луч, который начинается в точке -0,5 и направлен в сторону увеличения чисел (вправо). Точка -0,5 отмечена закрашенным кружком, что означает, что она принадлежит данному промежутку. Таким образом, этот промежуток включает все числа, которые больше или равны -0,5. В виде неравенства это записывается как $x \ge -0,5$. В виде числового промежутка это записывается с использованием квадратной скобки: $[-0,5; +\infty)$.
Ответ: $x \ge -0,5$, или $[-0,5; +\infty)$.

б) На рисунке изображен числовой луч, который начинается в точке 0 и направлен в сторону уменьшения чисел (влево). Точка 0 отмечена пустым (выколотым) кружком, что означает, что она не принадлежит данному промежутку. Таким образом, этот промежуток включает все числа, которые строго меньше 0. В виде неравенства это записывается как $x < 0$. В виде числового промежутка это записывается с использованием круглой скобки: $(-\infty; 0)$.
Ответ: $x < 0$, или $(-\infty; 0)$.

в) На рисунке изображен интервал, расположенный между точками $-\frac{1}{3}$ и 1. Обе точки, $-\frac{1}{3}$ и 1, отмечены пустыми (выколотыми) кружками, что означает, что они не принадлежат данному промежутку. Таким образом, этот промежуток включает все числа, которые строго больше $-\frac{1}{3}$ и строго меньше 1. В виде двойного неравенства это записывается как $-\frac{1}{3} < x < 1$. В виде числового промежутка это записывается с использованием круглых скобок: $(-\frac{1}{3}; 1)$.
Ответ: $-\frac{1}{3} < x < 1$, или $(-\frac{1}{3}; 1)$.

г) На рисунке изображен числовой луч, который начинается в точке 1,3 и направлен в сторону уменьшения чисел (влево). Точка 1,3 отмечена закрашенным кружком, что означает, что она принадлежит данному промежутку. Таким образом, этот промежуток включает все числа, которые меньше или равны 1,3. В виде неравенства это записывается как $x \le 1,3$. В виде числового промежутка это записывается с использованием квадратной скобки: $(-\infty; 1,3]$.
Ответ: $x \le 1,3$, или $(-\infty; 1,3]$.

д) На рисунке изображен отрезок, расположенный между точками -0,3 и 0. Обе точки, -0,3 и 0, отмечены закрашенными кружками, что означает, что они принадлежат данному промежутку. Таким образом, этот промежуток включает все числа, которые больше или равны -0,3 и меньше или равны 0. В виде двойного неравенства это записывается как $-0,3 \le x \le 0$. В виде числового промежутка это записывается с использованием квадратных скобок: $[-0,3; 0]$.
Ответ: $-0,3 \le x \le 0$, или $[-0,3; 0]$.

е) На рисунке изображен числовой луч, который начинается в точке $\frac{3}{4}$ и направлен в сторону увеличения чисел (вправо). Точка $\frac{3}{4}$ отмечена пустым (выколотым) кружком, что означает, что она не принадлежит данному промежутку. Таким образом, этот промежуток включает все числа, которые строго больше $\frac{3}{4}$. В виде неравенства это записывается как $x > \frac{3}{4}$. В виде числового промежутка это записывается с использованием круглой скобки: $(\frac{3}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x > \frac{3}{4}$, или $(\frac{3}{4}; +\infty)$.

441 Изобразите на координатной прямой и опишите на алгебраическом языке:

а) замкнутый луч с началом в точке $2$ (сколько существует таких лучей?);

б) открытый луч с началом в точке $-1$ (сколько существует таких лучей?);

в) интервал от точки $-2$ до точки $3$;

г) отрезок с концами в точках $-8$ и $-2$.

а) Замкнутый луч — это часть прямой, которая включает свою начальную точку и все точки, лежащие по одну сторону от нее. С началом в точке 2 на координатной прямой могут существовать два таких луча: один направлен в сторону увеличения чисел, а другой — в сторону уменьшения. Таким образом, существует два таких луча.

Вариант 1: Луч направлен вправо.

На алгебраическом языке это множество описывается неравенством $x \ge 2$. В виде числового промежутка это записывается как $[2; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Вариант 2: Луч направлен влево.

На алгебраическом языке это множество описывается неравенством $x \le 2$. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Существует два таких луча. На алгебраическом языке они описываются как $x \ge 2$ (промежуток $[2; +\infty)$) или $x \le 2$ (промежуток $(-\infty; 2]$). Их изображения представлены выше.

б) Открытый луч — это часть прямой, которая не включает свою начальную точку, но включает все точки, лежащие по одну сторону от нее. С началом в точке –1 могут существовать два таких луча: один включает все числа, строго большие –1, а другой — все числа, строго меньшие –1. Таким образом, существует два таких луча.

Вариант 1: Луч направлен вправо.

На алгебраическом языке это множество описывается строгим неравенством $x > -1$. В виде числового промежутка это записывается как $(-1; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой (начальная точка "выколота"):

Вариант 2: Луч направлен влево.

На алгебраическом языке это множество описывается строгим неравенством $x < -1$. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; -1)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Существует два таких луча. На алгебраическом языке они описываются как $x > -1$ (промежуток $(-1; +\infty)$) или $x < -1$ (промежуток $(-\infty; -1)$). Их изображения представлены выше.

в) Интервал от точки –2 до точки 3 — это множество чисел, заключенных между –2 и 3. Концевые точки –2 и 3 в этот интервал не входят.

На алгебраическом языке это множество описывается двойным строгим неравенством $-2 < x < 3$. В виде числового промежутка это записывается как $(-2; 3)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Алгебраическая запись: $-2 < x < 3$ или в виде промежутка $(-2; 3)$. Изображение на координатной прямой представлено выше.

г) Отрезок с концами в точках –8 и –2 — это множество чисел, заключенных между –8 и –2. Концевые точки –8 и –2 входят в этот отрезок.

На алгебраическом языке это множество описывается двойным нестрогим неравенством $-8 \le x \le -2$. В виде числового промежутка это записывается как $[-8; -2]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Алгебраическая запись: $-8 \le x \le -2$ или в виде промежутка $[-8; -2]$. Изображение на координатной прямой представлено выше.

442 Какие из точек $-6$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{6}$; $0$; $0,4$ принадлежат лучу, изображённому на рисунке 5.8?

$-\frac{1}{5}$

На рисунке изображен числовой луч, который начинается в точке с координатой $-\frac{1}{5}$ и направлен влево, в сторону уменьшения чисел. Точка начала луча, $-\frac{1}{5}$, является закрашенной, что означает, что она включена в множество точек луча. Таким образом, луч представляет собой множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $x \le -\frac{1}{5}$.

Чтобы определить, какие из предложенных точек принадлежат этому лучу, необходимо сравнить каждую из них с числом $-\frac{1}{5}$. Для удобства сравнения можно перевести все числа в десятичные дроби или привести дроби к общему знаменателю.

Значение $-\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби равно $-0.2$. Проверим каждую из заданных точек на соответствие условию $x \le -0.2$:

• Точка -6: Сравниваем $-6$ и $-0.2$. Так как $-6$ находится на числовой оси левее, чем $-0.2$, то $ -6 < -0.2 $. Следовательно, точка $-6$ принадлежит лучу.
• Точка $\frac{1}{3}$: Это положительное число. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $ \frac{1}{3} > -0.2 $. Следовательно, точка $\frac{1}{3}$ не принадлежит лучу.
• Точка $-\frac{1}{6}$: Сравним $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю $30$:
  $ -\frac{1}{6} = -\frac{5}{30} $
  $ -\frac{1}{5} = -\frac{6}{30} $
  Поскольку $ -5 > -6 $, то $ -\frac{5}{30} > -\frac{6}{30} $, а значит $ -\frac{1}{6} > -\frac{1}{5} $. Следовательно, точка $-\frac{1}{6}$ не принадлежит лучу.
• Точка 0: Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому $ 0 > -0.2 $. Следовательно, точка $0$ не принадлежит лучу.
• Точка 0,4: Это положительное число, поэтому $ 0.4 > -0.2 $. Следовательно, точка $0.4$ не принадлежит лучу.

Таким образом, из всех перечисленных точек только одна, $-6$, удовлетворяет условию и принадлежит изображенному лучу.

Ответ: $-6$.

443 Какие из чисел $0; \frac{1}{2}; -2; 16$ Рис. 5.8 принадлежат промежутку:

a) $x < 16$;

б) $x \geq 0,5$;

в) $2 \leq x \leq 16$;

г) $0 < x < \frac{1}{3}$?

Для решения задачи необходимо проверить каждое из предложенных чисел (0; $1/2$; -2; 16) на принадлежность к каждому из заданных промежутков, то есть проверить, удовлетворяет ли число соответствующему неравенству.

а) $x < 16$

Этот промежуток включает все числа, которые строго меньше 16. Проверим каждое число:
Число 0: $0 < 16$. Неравенство верное.
Число $1/2$: $1/2 < 16$ (или $0,5 < 16$). Неравенство верное.
Число -2: $-2 < 16$. Неравенство верное.
Число 16: $16 < 16$. Неравенство неверное, так как 16 равно 16, а не меньше.
Таким образом, промежутку принадлежат числа 0, $1/2$ и -2.
Ответ: 0; $1/2$; -2.

б) $x \geq 0,5$

Этот промежуток включает все числа, которые больше или равны 0,5. Представим дробь $1/2$ в виде десятичной дроби: $1/2 = 0,5$. Проверим каждое число:
Число 0: $0 \geq 0,5$. Неравенство неверное.
Число $1/2$: $0,5 \geq 0,5$. Неравенство верное, так как числа равны.
Число -2: $-2 \geq 0,5$. Неравенство неверное.
Число 16: $16 \geq 0,5$. Неравенство верное.
Таким образом, промежутку принадлежат числа $1/2$ и 16.
Ответ: $1/2$; 16.

в) $2 \leq x \leq 16$

Этот промежуток (отрезок) включает все числа, которые больше или равны 2 и одновременно меньше или равны 16. Проверим каждое число:
Число 0: $2 \leq 0 \leq 16$. Неравенство неверное, так как 0 не больше или равно 2.
Число $1/2$: $2 \leq 1/2 \leq 16$ (или $2 \leq 0,5 \leq 16$). Неравенство неверное, так как 0,5 не больше или равно 2.
Число -2: $2 \leq -2 \leq 16$. Неравенство неверное, так как -2 не больше или равно 2.
Число 16: $2 \leq 16 \leq 16$. Неравенство верное, так как 16 больше 2 и равно 16.
Таким образом, промежутку принадлежит только число 16.
Ответ: 16.

г) $0 < x < \frac{1}{3}$

Этот промежуток (интервал) включает все числа, которые строго больше 0 и строго меньше $1/3$. Для удобства сравнения, представим $1/3 \approx 0,333...$ и $1/2 = 0,5$. Проверим каждое число:
Число 0: $0 < 0 < 1/3$. Неравенство неверное, так как 0 не может быть строго больше 0.
Число $1/2$: $0 < 1/2 < 1/3$. Чтобы сравнить дроби $1/2$ и $1/3$, приведем их к общему знаменателю 6: $1/2 = 3/6$, $1/3 = 2/6$. Неравенство $3/6 < 2/6$ является неверным, так как $3>2$. Значит, $1/2$ не принадлежит промежутку.
Число -2: $0 < -2 < 1/3$. Неравенство неверное, так как -2 не больше 0.
Число 16: $0 < 16 < 1/3$. Неравенство неверное, так как 16 не меньше $1/3$.
Таким образом, ни одно из данных чисел не принадлежит этому промежутку.
Ответ: ни одно из чисел.

444 Найдите точку с целой положительной координатой, принадлежащую отрезку $-0,2 \leq x \leq 2,7$. Сколько таких точек на отрезке? Сколько точек имеет целую неотрицательную координату?

Найдите точку с целой положительной координатой, принадлежащую отрезку $-0,2 \le x \le 2,7$.
Мы ищем точку с координатой $x$, которая удовлетворяет трем условиям:
1. $x$ принадлежит отрезку $[-0.2, 2.7]$, то есть $-0.2 \le x \le 2.7$.
2. $x$ является целым числом.
3. $x$ является положительным числом, то есть $x > 0$.
Сначала найдем все целые числа, которые лежат в указанном диапазоне. Между $-0.2$ и $2.7$ находятся следующие целые числа: $0, 1, 2$.
Теперь из этого набора чисел ($0, 1, 2$) выберем те, которые являются положительными. Положительные числа — это числа, которые строго больше нуля.
- Число $0$ не является положительным.
- Число $1$ — положительное.
- Число $2$ — положительное.
Таким образом, на отрезке есть две точки, удовлетворяющие условию: $1$ и $2$. В вопросе просят найти одну точку, можно выбрать любую из них.
Ответ: Точки с целой положительной координатой на данном отрезке: $1$ и $2$.

Сколько таких точек на отрезке?
"Такие точки" — это точки с целой положительной координатой. Как мы установили в решении предыдущего вопроса, на отрезке $[-0.2, 2.7]$ есть две такие точки. Это точки с координатами $1$ и $2$.
Следовательно, количество таких точек равно двум.
Ответ: 2.

Сколько точек имеет целую неотрицательную координату?
Теперь нам нужно найти количество точек с целой и неотрицательной координатой на отрезке $[-0.2, 2.7]$.
Неотрицательные числа — это числа, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$).
Целые числа, принадлежащие отрезку $[-0.2, 2.7]$, — это $0, 1, 2$.
Проверим, какие из этих чисел являются неотрицательными:
- $0 \ge 0$ (верно), значит, $0$ — неотрицательное число.
- $1 \ge 0$ (верно), значит, $1$ — неотрицательное число.
- $2 \ge 0$ (верно), значит, $2$ — неотрицательное число.
Все три целых числа на отрезке ($0, 1, 2$) являются неотрицательными.
Таким образом, количество таких точек равно трем.
Ответ: 3.

445 Сколько целых чисел принадлежит:

а) интервалу $-1,5 < x < 4$;

б) отрезку $-1,5 \le x \le 4$;

в) лучу $x > -1$;

г) лучу $x \ge -1$?

а) Нужно найти количество целых чисел, которые удовлетворяют строгому неравенству $-1,5 < x < 4$. Это значит, что мы ищем целые числа, которые больше $-1,5$ и одновременно меньше $4$. Выпишем все такие числа по порядку. Первое целое число, которое больше $-1,5$, это $-1$. Затем идут $0, 1, 2, 3$. Число $4$ не включается, так как неравенство строгое ($x < 4$). Таким образом, получаем следующий набор целых чисел: $-1, 0, 1, 2, 3$. Всего в этом наборе 5 чисел.
Ответ: 5

б) Нужно найти количество целых чисел, которые удовлетворяют нестрогому неравенству $-1,5 \le x \le 4$. Это значит, что мы ищем целые числа, которые больше или равны $-1,5$ и одновременно меньше или равны $4$. Первое целое число, удовлетворяющее этому условию, это $-1$. Далее идут $0, 1, 2, 3$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 4$), число $4$ также включается в наш набор. Таким образом, получаем следующий набор целых чисел: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$. Всего в этом наборе 6 чисел.
Ответ: 6

в) Нужно найти количество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $x > -1$. Это все целые числа, которые строго больше $-1$. Первым таким целым числом является $0$. За ним следуют $1, 2, 3$ и так далее. Этот числовой ряд продолжается до бесконечности. Следовательно, количество целых чисел, принадлежащих этому лучу, бесконечно.
Ответ: бесконечно много

г) Нужно найти количество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству $x \ge -1$. Это все целые числа, которые больше или равны $-1$. Так как неравенство нестрогое, само число $-1$ является первым таким целым числом. За ним следуют $0, 1, 2, 3$ и так далее. Этот числовой ряд продолжается до бесконечности. Следовательно, количество целых чисел, принадлежащих этому лучу, также бесконечно.
Ответ: бесконечно много

446 Назовите наименьшее и наибольшее целые числа, принадлежащие указанному промежутку (если такие существуют):

а) интервалу $-15 < x < 3$;

б) отрезку $-2,5 \leq x \leq 8$;

в) лучу $x < 5$;

г) лучу $x \geq 0$.

а) интервалу $-15 < x < 3$
В данном промежутке находятся все числа, которые строго больше -15 и строго меньше 3. Мы ищем целые числа, принадлежащие этому интервалу.
Наименьшее целое число, которое больше, чем -15, — это -14.
Наибольшее целое число, которое меньше, чем 3, — это 2.
Ответ: наименьшее целое число: -14, наибольшее целое число: 2.

б) отрезку $-2,5 \le x \le 8$
В данном промежутке находятся все числа, которые больше или равны -2,5 и меньше или равны 8. Мы ищем целые числа, принадлежащие этому отрезку.
Наименьшее целое число, которое больше или равно -2,5, — это -2.
Наибольшее целое число, которое меньше или равно 8, — это 8, так как 8 является целым числом и входит в промежуток.
Ответ: наименьшее целое число: -2, наибольшее целое число: 8.

в) лучу $x < 5$
Данный промежуток — это луч, включающий все числа, которые строго меньше 5. Мы ищем целые числа на этом луче.
Наибольшее целое число, которое меньше 5, — это 4.
Наименьшего целого числа не существует, так как луч неограничен слева (уходит в минус бесконечность).
Ответ: наименьшее целое число не существует, наибольшее целое число: 4.

г) лучу $x \ge 0$
Данный промежуток — это луч, включающий все числа, которые больше или равны 0. Мы ищем целые числа на этом луче.
Наименьшее целое число, которое больше или равно 0, — это 0.
Наибольшего целого числа не существует, так как луч неограничен справа (уходит в плюс бесконечность).
Ответ: наименьшее целое число: 0, наибольшее целое число не существует.