Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

На координатной прямой заданы точки M(m) и N(n). Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками. Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчёта?

Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками.
Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это длина отрезка, который их соединяет. Так как длина не может быть отрицательной, для ее вычисления используется модуль (абсолютная величина) разности координат этих точек. Для точек $M(m)$ и $N(n)$ расстояние $d$ (или $MN$) вычисляется по формуле: $d = |m - n|$ Порядок вычитания координат не имеет значения, так как по свойству модуля $|m - n| = |n - m|$.
Ответ: $d = |m - n|$.

Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчёта?
Да, эта формула полностью справедлива и в этом частном случае. Начало отсчёта — это точка $O$ с координатой 0. Рассмотрим ситуацию, когда одна из точек, например $M$, совпадает с началом отсчёта. В этом случае её координата $m = 0$. Подставим это значение в общую формулу для нахождения расстояния до точки $N(n)$: $d = |0 - n| = |-n|$ По определению модуля, $|-n| = |n|$. Полученный результат $d = |n|$ в точности соответствует определению расстояния от точки с координатой $n$ до начала отсчёта. Если бы точка $N$ совпадала с началом отсчёта ($n=0$), то мы бы получили $d = |m - 0| = |m|$, что также верно. Следовательно, формула универсальна и работает для любых точек на координатной прямой, включая начало отсчёта.
Ответ: Да, справедлива.

Найдите координату середины отрезка AB для каждого случая на рисунке 5.13.

Для нахождения координат середины отрезка необходимо вычислить полусумму соответствующих координат его концов. Если заданы точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, то координаты середины отрезка AB, точки C($x_C, y_C$), находятся по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Поскольку сам рисунок 5.13 не приложен, ниже приведены решения для нескольких гипотетических случаев с различными координатами точек A и B.

а)
Пусть концы отрезка имеют координаты $A(2, 6)$ и $B(8, 10)$.
Найдем координаты $x_C$ и $y_C$ середины отрезка C.
Координата $x_C$ (абсцисса):
$x_C = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Координата $y_C$ (ордината):
$y_C = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
Таким образом, середина отрезка находится в точке с координатами (5, 8).
Ответ: C(5, 8).

б)
Пусть концы отрезка имеют координаты $A(-5, 7)$ и $B(1, -3)$.
Найдем координаты $x_C$ и $y_C$ середины отрезка C.
Координата $x_C$ (абсцисса):
$x_C = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Координата $y_C$ (ордината):
$y_C = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, середина отрезка находится в точке с координатами (-2, 2).
Ответ: C(-2, 2).

в)
Пусть концы отрезка имеют координаты $A(-3, -4)$ и $B(6, 1)$.
Найдем координаты $x_C$ и $y_C$ середины отрезка C.
Координата $x_C$ (абсцисса):
$x_C = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
Координата $y_C$ (ордината):
$y_C = \frac{-4 + 1}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$
Таким образом, середина отрезка находится в точке с координатами (1.5, -1.5).
Ответ: C(1.5, -1.5).

Расскажите, как найдена координата середины отрезка в примере из фрагмента 2.

Для нахождения координат середины отрезка используется формула, основанная на вычислении среднего арифметического координат его конечных точек.

Предположим, у нас есть отрезок, заданный координатами своих концов: точка $A(x_1, y_1)$ и точка $B(x_2, y_2)$.

Пусть точка $C(x_c, y_c)$ является серединой этого отрезка. Её координаты вычисляются следующим образом:

1. Нахождение координаты X середины отрезка:
   Нужно сложить абсциссы (координаты X) конечных точек отрезка и разделить полученную сумму на 2.
   Формула: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$
2. Нахождение координаты Y середины отрезка:
   Нужно сложить ординаты (координаты Y) конечных точек отрезка и разделить полученную сумму на 2.
   Формула: $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Таким образом, в примере из "фрагмента 2", чтобы найти координаты середины отрезка, были выполнены именно эти действия:

• Взяли абсциссы (x-координаты) двух концов отрезка, сложили их и результат разделили на 2.
• Взяли ординаты (y-координаты) этих же точек, сложили их и результат разделили на 2.
• Полученные два числа и являются, соответственно, абсциссой и ординатой искомой середины отрезка.

Ответ: Координаты середины отрезка были найдены как полусумма соответствующих координат его концов. То есть, абсцисса середины — это среднее арифметическое абсцисс концов, а ордината середины — это среднее арифметическое ординат концов.

451 Найдите расстояние между точками, отмеченными на координатной прямой (рис. 5.14, а–г).

а) $89$, $115$

б) $-3$, $67$

в) $-90$, $-35$

г) $-120$, $-15$

Рис. 5.14

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из большей координаты вычесть меньшую (или найти модуль их разности).

а) Координаты точек: 89 и 115.
Большая координата — 115, меньшая — 89.
Найдем расстояние, вычтя из большей координаты меньшую:
$115 - 89 = 26$.
Ответ: 26

б) Координаты точек: -3 и 67.
Большая координата — 67, меньшая — -3.
Найдем расстояние, вычтя из большей координаты меньшую:
$67 - (-3) = 67 + 3 = 70$.
Ответ: 70

в) Координаты точек: -90 и -35.
Так как -35 находится на координатной прямой правее, чем -90, то $-35 > -90$.
Большая координата — -35, меньшая — -90.
Найдем расстояние между ними:
$-35 - (-90) = -35 + 90 = 55$.
Ответ: 55

г) Координаты точек: -120 и -15.
Так как -15 находится на координатной прямой правее, чем -120, то $-15 > -120$.
Большая координата — -15, меньшая — -120.
Найдем расстояние между точками:
$-15 - (-120) = -15 + 120 = 105$.
Ответ: 105

452 Найдите длины отрезков AB, AC, AO, AD, BD (рис. 5.15).

Координаты точек:

A: $A = -8.9$

B: $B = -4$

O: $O = 0$

C: $C = 0.9$

D: $D = 7$

Рис. 5.15

Для нахождения длины отрезка на координатной прямой необходимо найти модуль разности координат его концов. Иными словами, из координаты точки, расположенной правее (большей координаты), вычесть координату точки, расположенной левее (меньшей координаты).
Из рисунка мы видим координаты точек: A(-8,9), B(-4), O(0), C(0,9), D(7).

AB
Найдем длину отрезка AB. Координата точки A равна -8,9, а координата точки B равна -4.
Длина отрезка AB вычисляется по формуле $AB = |x_B - x_A|$.
$AB = |-4 - (-8,9)| = |-4 + 8,9| = |4,9| = 4,9$
Ответ: 4,9.

AC
Найдем длину отрезка AC. Координата точки A равна -8,9, а координата точки C равна 0,9.
Длина отрезка AC вычисляется по формуле $AC = |x_C - x_A|$.
$AC = |0,9 - (-8,9)| = |0,9 + 8,9| = |9,8| = 9,8$
Ответ: 9,8.

AO
Найдем длину отрезка AO. Координата точки A равна -8,9, а координата точки O равна 0.
Длина отрезка AO вычисляется по формуле $AO = |x_O - x_A|$.
$AO = |0 - (-8,9)| = |8,9| = 8,9$
Ответ: 8,9.

AD
Найдем длину отрезка AD. Координата точки A равна -8,9, а координата точки D равна 7.
Длина отрезка AD вычисляется по формуле $AD = |x_D - x_A|$.
$AD = |7 - (-8,9)| = |7 + 8,9| = |15,9| = 15,9$
Ответ: 15,9.

BD
Найдем длину отрезка BD. Координата точки B равна -4, а координата точки D равна 7.
Длина отрезка BD вычисляется по формуле $BD = |x_D - x_B|$.
$BD = |7 - (-4)| = |7 + 4| = |11| = 11$
Ответ: 11.

453 Найдите длину отрезка $MN$, если:

а) $M(-7)$, $N(35)$;

б) $M(\frac{1}{2})$, $N(\frac{1}{3})$;

в) $M(-2,76)$, $N(-2,83)$.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно найти модуль разности координат его концов. Если точки имеют координаты $M(x_M)$ и $N(x_N)$, то длина отрезка $MN$ вычисляется по формуле: $MN = |x_N - x_M|$. Это равносильно вычитанию меньшей координаты из большей.

а) $M(-7)$, $N(35)$

Координата точки $M$ равна $-7$, а координата точки $N$ равна $35$.

Найдем длину отрезка $MN$, используя формулу:

$MN = |35 - (-7)| = |35 + 7| = |42| = 42$.

Поскольку $35 > -7$, можно также просто вычесть меньшую координату из большей: $35 - (-7) = 42$.

Ответ: 42.

б) $M(\frac{1}{2})$, $N(\frac{1}{3})$

Координата точки $M$ равна $\frac{1}{2}$, а координата точки $N$ равна $\frac{1}{3}$.

Найдем длину отрезка $MN$. Для этого сначала сравним координаты. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

Теперь вычтем из большей координаты меньшую:

$MN = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Или по формуле с модулем:

$MN = |\frac{1}{3} - \frac{1}{2}| = |\frac{2}{6} - \frac{3}{6}| = |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) $M(-2,76)$, $N(-2,83)$

Координата точки $M$ равна $-2,76$, а координата точки $N$ равна $-2,83$.

Найдем длину отрезка $MN$. Сравним координаты: так как $|-2,76| < |-2,83|$, то $-2,76 > -2,83$.

Вычтем из большей координаты меньшую:

$MN = -2,76 - (-2,83) = -2,76 + 2,83 = 0,07$.

Или по формуле с модулем:

$MN = |-2,83 - (-2,76)| = |-2,83 + 2,76| = |-0,07| = 0,07$.

Ответ: 0,07.

454 a) Найдите координату точки $C$, которая является серединой отрезка с концами в точках $A(-6,8)$ и $B(12,4)$.

б) Найдите координату точки $K$, которая является серединой отрезка с концами в точках $M(10,6)$ и $N(-2,4)$.

а)

Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Если точка C$(x_C, y_C)$ является серединой отрезка с концами в точках A$(x_A, y_A)$ и B$(x_B, y_B)$, то ее координаты вычисляются по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Для точек A(-6, 8) и B(12, 4) имеем:

$x_C = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_C = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Следовательно, координаты точки C – (3, 6).

Ответ: C(3, 6).

б)

Аналогично, для нахождения координат точки K$(x_K, y_K)$, являющейся серединой отрезка с концами в точках M$(x_M, y_M)$ и N$(x_N, y_N)$, используются те же формулы:

$x_K = \frac{x_M + x_N}{2}$

$y_K = \frac{y_M + y_N}{2}$

Для точек M(10, 6) и N(-2, 4) имеем:

$x_K = \frac{10 + (-2)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_K = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Следовательно, координаты точки K – (4, 5).

Ответ: K(4, 5).

РАССУЖДАЕМ (455-457)

455 Зная координату точки A на прямой и расстояние между точками A и B, найдите координату точки B:

a) $A(-1)$, $AB=4$;

б) $A(2)$, $AB=6$.

а) Дано: координата точки A(-1) и расстояние AB = 4.

На координатной прямой точка B может находиться либо справа от точки A, либо слева от неё на расстоянии 4 единиц. Это означает, что существует два возможных положения для точки B.

Пусть координата точки A равна $x_A = -1$, а координата точки B равна $x_B$. Расстояние между ними $d = AB = 4$.

1. Первый случай: точка B расположена справа от точки A. Её координату можно найти, прибавив расстояние к координате точки A.

$x_B = x_A + d = -1 + 4 = 3$

Таким образом, одна из возможных координат точки B — это 3. Проверим расстояние: $AB = |3 - (-1)| = |3 + 1| = |4| = 4$.

2. Второй случай: точка B расположена слева от точки A. Её координату можно найти, вычтя расстояние из координаты точки A.

$x_B = x_A - d = -1 - 4 = -5$

Таким образом, вторая возможная координата точки B — это -5. Проверим расстояние: $AB = |-5 - (-1)| = |-5 + 1| = |-4| = 4$.

Оба значения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 3 или -5.

б) Дано: координата точки A(2) и расстояние AB = 6.

Рассуждая аналогично, точка B может находиться как справа, так и слева от точки A на расстоянии 6 единиц.

Пусть координата точки A равна $x_A = 2$, а координата точки B равна $x_B$. Расстояние между ними $d = AB = 6$.

1. Первый случай: точка B находится справа от точки A. Для нахождения её координаты, сложим координату точки A и расстояние.

$x_B = x_A + d = 2 + 6 = 8$

Проверка: $AB = |8 - 2| = |6| = 6$. Координата B(8) является верным решением.

2. Второй случай: точка B находится слева от точки A. Для нахождения её координаты, вычтем расстояние из координаты точки A.

$x_B = x_A - d = 2 - 6 = -4$

Проверка: $AB = |-4 - 2| = |-6| = 6$. Координата B(-4) также является верным решением.

Оба значения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 8 или -4.

456 Точка $A$ имеет координату, равную $-4$, а точка $B$ — координату, равную $18$. Найдите координаты точек, которые делят отрезок $AB$ на четыре равные части.

Даны координаты двух точек на координатной прямой: точка A с координатой $x_A = -4$ и точка B с координатой $x_B = 18$. Чтобы найти координаты точек, которые делят отрезок AB на четыре равные части, необходимо выполнить следующие действия.

1. Найти длину отрезка AB.
Длина отрезка на координатной прямой вычисляется как модуль разности координат его концов.
$L = |x_B - x_A| = |18 - (-4)| = |18 + 4| = 22$.

2. Определить длину каждой из четырех равных частей.
Чтобы разделить отрезок на четыре равные части, нужно его общую длину разделить на 4.
$d = \frac{L}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$.

3. Вычислить координаты точек деления.
Для разделения отрезка на четыре части требуются три точки. Мы найдем их координаты, последовательно прибавляя длину одной части ($d = 5.5$) к координате начальной точки A.
Координата первой точки (отстоящей от A на $d$):
$x_1 = x_A + d = -4 + 5.5 = 1.5$.
Координата второй точки (отстоящей от A на $2d$):
$x_2 = x_1 + d = 1.5 + 5.5 = 7$.
Эта точка является серединой отрезка AB, что можно проверить по формуле: $x_{середина} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Координата третьей точки (отстоящей от A на $3d$):
$x_3 = x_2 + d = 7 + 5.5 = 12.5$.

Таким образом, искомые точки, которые делят отрезок AB на четыре равные части, имеют координаты 1.5, 7 и 12.5.

Ответ: 1.5; 7; 12.5.