Страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

а) Какое из равенств $x = 5$ или $y = 5$ задаёт в координатной плоскости горизонтальную прямую и какое вертикальную? Сделайте рисунок.

б) Какими условиями задаются ось $x$ и ось $y$?

а) Давайте разберемся, какое из равенств задает горизонтальную, а какое — вертикальную прямую на координатной плоскости.

Уравнение вида $x = c$, где $c$ — это некоторая константа, задает множество всех точек, у которых первая координата (абсцисса) всегда равна $c$. При этом вторая координата (ордината $y$) может быть абсолютно любой. Если мы возьмем точки, например, $(5, -2)$, $(5, 0)$, $(5, 3)$, $(5, 10)$, мы увидим, что все они лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат (оси $y$). Такая прямая является вертикальной. Следовательно, равенство $x=5$ задает вертикальную прямую.

Уравнение вида $y = c$, где $c$ — это константа, задает множество всех точек, у которых вторая координата (ордината) всегда равна $c$, а первая координата (абсцисса $x$) может быть любой. Например, точки $(-2, 5)$, $(0, 5)$, $(3, 5)$, $(10, 5)$ лежат на одной прямой, которая параллельна оси абсцисс (оси $x$). Такая прямая является горизонтальной. Таким образом, равенство $y=5$ задает горизонтальную прямую.

Сделаем рисунок, чтобы наглядно это продемонстрировать. На рисунке ниже синим цветом изображена горизонтальная прямая $y=5$, а красным цветом — вертикальная прямая $x=5$.

Ответ: равенство $y=5$ задает горизонтальную прямую, а равенство $x=5$ — вертикальную прямую.

б) Теперь определим, какими условиями задаются координатные оси.

Ось $x$, также известная как ось абсцисс, представляет собой горизонтальную линию. Как мы выяснили в пункте а), горизонтальные линии задаются уравнением $y=c$. Для оси $x$ все точки, лежащие на ней (например, $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(5, 0)$), имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Следовательно, ось $x$ задается условием $y=0$.

Ось $y$, также известная как ось ординат, представляет собой вертикальную линию. Вертикальные линии задаются уравнением $x=c$. Для оси $y$ все точки, лежащие на ней (например, $(0, -3)$, $(0, 0)$, $(0, 5)$), имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Следовательно, ось $y$ задается условием $x=0$.

Ответ: ось $x$ задается условием $y=0$, а ось $y$ — условием $x=0$.

На рисунке 5.21, в изображена полуплоскость, заданная неравенством $y \ge -1$. Какие из следующих точек принадлежат этой полуплоскости:

(-3; 1), (2; 0), (2; -3), (0; -2), (3; -1), (100; -2), (-1; 100)?

a) $x \le 1$

б) $y < -2$

в) $y \ge -1$

Рис. 5.21

Чтобы определить, принадлежит ли точка полуплоскости, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в неравенство, задающее эту полуплоскость. Если неравенство выполняется (обращается в верное числовое неравенство), то точка принадлежит полуплоскости. В противном случае — не принадлежит.

Проверим каждую из точек $(-3; 1)$, $(2; 0)$, $(2; -3)$, $(0; -2)$, $(3; -1)$, $(100; -2)$, $(-1; 100)$ для каждой из трех полуплоскостей.

Полуплоскость задана неравенством $x \le 1$. Проверяем принадлежность точек, подставляя их абсциссу (координату $x$) в неравенство.

• Точка $(-3; 1)$: $x = -3$. Неравенство $-3 \le 1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; 0)$: $x = 2$. Неравенство $2 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; -3)$: $x = 2$. Неравенство $2 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(0; -2)$: $x = 0$. Неравенство $0 \le 1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(3; -1)$: $x = 3$. Неравенство $3 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(100; -2)$: $x = 100$. Неравенство $100 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(-1; 100)$: $x = -1$. Неравенство $-1 \le 1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

Ответ: полуплоскости $x \le 1$ принадлежат точки $(-3; 1)$, $(0; -2)$, $(-1; 100)$.

Полуплоскость задана неравенством $y < -2$. Проверяем принадлежность точек, подставляя их ординату (координату $y$) в неравенство. Граница $y = -2$ (пунктирная линия) не включается в полуплоскость.

• Точка $(-3; 1)$: $y = 1$. Неравенство $1 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; 0)$: $y = 0$. Неравенство $0 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; -3)$: $y = -3$. Неравенство $-3 < -2$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(0; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости (она лежит на границе).

• Точка $(3; -1)$: $y = -1$. Неравенство $-1 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(100; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости (она лежит на границе).

• Точка $(-1; 100)$: $y = 100$. Неравенство $100 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

Ответ: полуплоскости $y < -2$ принадлежит точка $(2; -3)$.

Полуплоскость задана неравенством $y \ge -1$. Проверяем принадлежность точек, подставляя их ординату (координату $y$) в неравенство. Граница $y = -1$ (сплошная линия) включается в полуплоскость.

• Точка $(-3; 1)$: $y = 1$. Неравенство $1 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; 0)$: $y = 0$. Неравенство $0 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; -3)$: $y = -3$. Неравенство $-3 \ge -1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(0; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 \ge -1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(3; -1)$: $y = -1$. Неравенство $-1 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости (она лежит на границе).

• Точка $(100; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 \ge -1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(-1; 100)$: $y = 100$. Неравенство $100 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

Ответ: полуплоскости $y \ge -1$ принадлежат точки $(-3; 1)$, $(2; 0)$, $(3; -1)$, $(-1; 100)$.

На рисунке 5.24 изображён прямоугольник, заданный условиями: $1 \le x \le 3$ и $2 \le y \le 5$. Назовите координаты каких-нибудь пяти точек, которые принадлежат этому прямоугольнику, и пяти точек, которые ему не принадлежат.

Рис. 5.24

Заданный прямоугольник определяется системой из двух двойных неравенств:

$1 \le x \le 3$

$2 \le y \le 5$

Точка с координатами $(x, y)$ принадлежит этому прямоугольнику (включая его границы), если её координаты одновременно удовлетворяют обоим этим условиям. Это означает, что абсцисса $x$ должна находиться в пределах от 1 до 3 включительно, а ордината $y$ — в пределах от 2 до 5 включительно.

Пять точек, которые принадлежат этому прямоугольнику

Чтобы найти точки, принадлежащие прямоугольнику, нужно выбрать значения $x$ из отрезка $[1, 3]$ и значения $y$ из отрезка $[2, 5]$. Можно выбрать как точки внутри прямоугольника, так и на его границах.

Приведем примеры пяти таких точек с проверкой условий:

1. Точка $A(2, 4)$. Проверка: $1 \le 2 \le 3$ (верно) и $2 \le 4 \le 5$ (верно). Точка находится внутри прямоугольника.

2. Точка $B(1, 2)$. Проверка: $1 \le 1 \le 3$ (верно) и $2 \le 2 \le 5$ (верно). Точка является левой нижней вершиной прямоугольника.

3. Точка $C(3, 5)$. Проверка: $1 \le 3 \le 3$ (верно) и $2 \le 5 \le 5$ (верно). Точка является правой верхней вершиной прямоугольника.

4. Точка $D(1.5, 3)$. Проверка: $1 \le 1.5 \le 3$ (верно) и $2 \le 3 \le 5$ (верно). Точка находится внутри прямоугольника.

5. Точка $E(3, 4)$. Проверка: $1 \le 3 \le 3$ (верно) и $2 \le 4 \le 5$ (верно). Точка лежит на правой границе прямоугольника.

Ответ: $(2, 4)$, $(1, 2)$, $(3, 5)$, $(1.5, 3)$, $(3, 4)$.

Пять точек, которые ему не принадлежат

Точка не принадлежит прямоугольнику, если для её координат $(x, y)$ не выполняется хотя бы одно из двух условий. Это значит, что либо координата $x$ находится вне отрезка $[1, 3]$ (то есть $x < 1$ или $x > 3$), либо координата $y$ находится вне отрезка $[2, 5]$ (то есть $y < 2$ или $y > 5$).

Приведем примеры пяти таких точек с проверкой условий:

1. Точка $F(0, 4)$. Проверка: координата $x=0$ не удовлетворяет условию $1 \le x \le 3$, так как $0 < 1$. Точка находится левее прямоугольника.

2. Точка $G(4, 3)$. Проверка: координата $x=4$ не удовлетворяет условию $1 \le x \le 3$, так как $4 > 3$. Точка находится правее прямоугольника.

3. Точка $H(2, 1)$. Проверка: координата $y=1$ не удовлетворяет условию $2 \le y \le 5$, так как $1 < 2$. Точка находится ниже прямоугольника.

4. Точка $K(2.5, 6)$. Проверка: координата $y=6$ не удовлетворяет условию $2 \le y \le 5$, так как $6 > 5$. Точка находится выше прямоугольника.

5. Точка $L(5, 0)$. Проверка: не выполняются оба условия, так как $x = 5 > 3$ и $y = 0 < 2$. Точка не принадлежит прямоугольнику.

Ответ: $(0, 4)$, $(4, 3)$, $(2, 1)$, $(2.5, 6)$, $(5, 0)$.

462 Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задается равенством:

а) $x = 3;$

б) $x = -1,25;$

в) $y = -2;$

г) $y = 25;$

д) $x = 0;$

е) $y = 0.$

а)

Равенство $x=3$ задаёт множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) равна 3. Ордината (координата $y$) при этом может быть любым действительным числом. Примерами таких точек являются $(3, 0)$, $(3, 5)$, $(3, -2)$ и так далее.
Графически это множество точек представляет собой прямую линию, проходящую через точку $(3, 0)$ на оси абсцисс и параллельную оси ординат (оси $Oy$).

Ответ: Прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку $(3, 0)$.

б)

Равенство $x=-1,25$ задаёт множество всех точек, у которых абсцисса $x$ всегда равна $-1,25$, а ордината $y$ может принимать любое значение. Например, точки $(-1,25; 1)$, $(-1,25; 0)$, $(-1,25; -100)$ принадлежат этому множеству.
На координатной плоскости это множество точек образует вертикальную прямую, которая пересекает ось абсцисс в точке $(-1,25; 0)$ и параллельна оси $Oy$.

Ответ: Прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку $(-1,25; 0)$.

в)

Равенство $y=-2$ определяет множество всех точек координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) равна $-2$. Абсцисса (координата $x$) при этом может быть любой. Примеры точек: $(0, -2)$, $(4, -2)$, $(-7, -2)$.
Это множество точек является горизонтальной прямой, которая проходит через точку $(0, -2)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс (оси $Ox$).

Ответ: Прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -2)$.

г)

Равенство $y=25$ задаёт множество всех точек, у которых ордината $y$ всегда равна $25$, в то время как абсцисса $x$ может быть любым действительным числом. Например, точки $(1, 25)$, $(-15, 25)$, $(0, 25)$ принадлежат этому множеству.
Графиком данного равенства является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 25)$.

Ответ: Прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 25)$.

д)

Равенство $x=0$ — это частный случай уравнения вида $x=c$. Оно описывает множество всех точек, у которых абсцисса равна нулю. Ордината $y$ может быть любой. Точки с такими координатами, например, $(0, 1)$, $(0, -3)$, $(0, 0)$, лежат на оси ординат.
Таким образом, это равенство задаёт саму ось ординат (ось $Oy$).

Ответ: Ось ординат (ось $Oy$).

е)

Равенство $y=0$ — это частный случай уравнения вида $y=c$. Оно описывает множество всех точек, у которых ордината равна нулю. Абсцисса $x$ при этом может быть любой. Точки с такими координатами, например, $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 0)$, лежат на оси абсцисс.
Следовательно, это равенство задаёт саму ось абсцисс (ось $Ox$).

Ответ: Ось абсцисс (ось $Ox$).

463 Опишите на алгебраическом языке прямые, изображённые на рисунке 5.25 а–г.

а) $y = -3$

б) $x = -1,5$

в) $x = 0$

г) $y = 0$

Рис. 5.25

а) На рисунке изображена горизонтальная прямая. Все точки этой прямой находятся на одном и том же уровне относительно оси абсцисс. Этот уровень соответствует ординате $y = -3$. Для любой точки на этой прямой, независимо от ее абсциссы $x$, ордината всегда будет равна -3. Таким образом, эта прямая задается уравнением $y = -3$.

Ответ: $y = -3$

б) На рисунке изображена вертикальная прямая. Все точки этой прямой находятся на одном и том же расстоянии от оси ординат. Это расстояние соответствует абсциссе $x = -1,5$. Для любой точки на этой прямой, независимо от ее ординаты $y$, абсцисса всегда будет равна -1,5. Таким образом, эта прямая задается уравнением $x = -1,5$.

Ответ: $x = -1,5$

в) На рисунке изображена прямая, совпадающая с осью ординат (осью $Oy$). Ось ординат — это множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна нулю. Таким образом, уравнение этой прямой — $x = 0$.

Ответ: $x = 0$

г) На рисунке изображена прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью $Ox$). Ось абсцисс — это множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) равна нулю. Таким образом, уравнение этой прямой — $y = 0$.

Ответ: $y = 0$

464 Опишите на алгебраическом языке:

а) прямую, проходящую через точку 5 оси ординат и параллельную оси абсцисс; $y = 5$

б) прямую, проходящую через точку $(-5; 2)$ и параллельную оси ординат. $x = -5$

а) Прямая, проходящая через точку 5 на оси ординат (оси OY), проходит через точку с координатами $(0; 5)$. Ось абсцисс — это ось OX. Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной, и для всех ее точек координата $y$ постоянна. Поскольку наша прямая проходит через точку $(0; 5)$, то для любой точки $(x; y)$ на этой прямой должно выполняться равенство $y = 5$.
Ответ: $y = 5$

б) Прямая, параллельная оси ординат (оси OY), является вертикальной. Для всех точек, лежащих на вертикальной прямой, координата $x$ постоянна. По условию, прямая проходит через точку с координатами $(-5; 2)$. Это означает, что для любой точки $(x; y)$ на этой прямой ее абсцисса должна быть равна -5. Таким образом, уравнение этой прямой имеет вид $x = -5$.
Ответ: $x = -5$

465 РАССУЖДАЕМ

a) Известно, что точки $A(2; -1)$ и $B(5; a)$ расположены на одной и той же прямой, перпендикулярной оси ординат. Найдите число $a$.

б) Известно, что точки $M(-4; 2)$ и $N(c; -3)$ расположены на одной и той же прямой, параллельной оси ординат. Найдите число $c$.

а) В прямоугольной системе координат ось ординат — это ось $y$. Прямая, перпендикулярная оси ординат, является горизонтальной прямой. Уравнение такой прямой имеет вид $y = \text{const}$, что означает, что все точки, лежащие на этой прямой, имеют одинаковую ординату (координату $y$).
Даны точки $A(2; -1)$ и $B(5; a)$. Ордината точки $A$ равна $-1$. Ордината точки $B$ равна $a$.
Так как обе точки лежат на одной и той же прямой, перпендикулярной оси ординат, их ординаты должны быть равны.
Следовательно, получаем равенство: $a = -1$.
Ответ: $-1$.

б) В прямоугольной системе координат ось ординат — это ось $y$. Прямая, параллельная оси ординат, является вертикальной прямой. Уравнение такой прямой имеет вид $x = \text{const}$, что означает, что все точки, лежащие на этой прямой, имеют одинаковую абсциссу (координату $x$).
Даны точки $M(-4; 2)$ и $N(c; -3)$. Абсцисса точки $M$ равна $-4$. Абсцисса точки $N$ равна $c$.
Так как обе точки лежат на одной и той же прямой, параллельной оси ординат, их абсциссы должны быть равны.
Следовательно, получаем равенство: $c = -4$.
Ответ: $-4$.

466 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $x > 5$;

б) $x \leq \frac{2}{5}$;

в) $x \geq 0$;

г) $y \geq 0$;

д) $y < -2$;

е) $y > -3,5$.

а) Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству $x > 5$, нужно выполнить следующие шаги. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $x=5$. Это вертикальная прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку (5, 0) на оси OX. Поскольку неравенство строгое ($ > $), точки, лежащие на этой прямой, не являются решениями неравенства. Поэтому прямую $x=5$ следует изобразить пунктирной линией. Решением неравенства $x > 5$ будут все точки, у которых абсцисса (координата x) больше 5. Эти точки лежат справа от прямой $x=5$. Таким образом, нужно заштриховать всю область справа от пунктирной линии $x=5$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x>5$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x=5$. Граничная прямая изображается пунктиром и не включается в решение.

б) Рассмотрим неравенство $x \le \frac{2}{5}$. Это множество всех точек, абсцисса которых меньше или равна $\frac{2}{5}$. Граничной линией здесь является прямая $x = \frac{2}{5}$. Это вертикальная прямая, параллельная оси OY, проходящая через точку $(\frac{2}{5}, 0)$. Отметим, что $\frac{2}{5} = 0,4$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой прямой $x = \frac{2}{5}$ являются частью решения. Поэтому границу изображают сплошной линией. Решением неравенства являются все точки, лежащие на прямой $x = \frac{2}{5}$ и слева от нее. Следовательно, заштрихованная область будет включать прямую $x = \frac{2}{5}$ и всю полуплоскость слева от нее.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x \le \frac{2}{5}$, представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную слева от вертикальной прямой $x = \frac{2}{5}$. Граничная прямая изображается сплошной линией и включается в решение.

в) Неравенство $x \ge 0$ задает множество точек, абсцисса которых больше или равна нулю. Граничной линией является прямая $x=0$, которая совпадает с осью ординат (осью OY). Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на оси OY удовлетворяют условию и являются частью решения. Ось OY изображается сплошной линией. Решением являются все точки, расположенные на оси OY и справа от нее. Эта область включает в себя все точки первого и четвертого координатных квадрантов, а также саму ось OY.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x \ge 0$, — это правая замкнутая полуплоскость, включающая ось ординат (OY) и все точки справа от нее.

г) Неравенство $y \ge 0$ задает множество точек, ордината которых больше или равна нулю. Граничной линией является прямая $y=0$, которая совпадает с осью абсцисс (осью OX). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на оси OX входят в множество решений. Ось OX изображается сплошной линией. Решением являются все точки, расположенные на оси OX и выше нее. Эта область включает в себя все точки первого и второго координатных квадрантов, а также саму ось OX.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge 0$, — это верхняя замкнутая полуплоскость, включающая ось абсцисс (OX) и все точки над ней.

д) Рассмотрим неравенство $y < -2$. Это множество всех точек, ордината которых строго меньше -2. Граничной линией является прямая $y=-2$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси OX, проходящая через точку $(0, -2)$ на оси OY. Поскольку неравенство строгое (<), точки на самой прямой $y=-2$ не являются решениями. Поэтому прямую изображают пунктирной линией. Решением являются все точки, расположенные ниже прямой $y=-2$. Заштриховать нужно всю область под пунктирной линией $y=-2$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < -2$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y=-2$. Граничная прямая изображается пунктиром и не включается в решение.

е) Неравенство $y > -3,5$ задает множество точек, ордината которых строго больше -3,5. Граничной линией является прямая $y = -3,5$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси OX, проходящая через точку $(0, -3,5)$. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки на прямой $y=-3,5$ не входят в решение, и прямую изображают пунктирной линией. Решением являются все точки, расположенные выше этой прямой. Нужно заштриховать всю область над пунктирной линией $y=-3,5$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > -3,5$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше горизонтальной прямой $y=-3,5$. Граничная прямая изображается пунктиром и не включается в решение.