Страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

477 Принадлежит ли графику зависимости, заданной равенством $y = 1 - x$, точка A(1; 0)? B(-2; 3)? C(3; 2)? D(-4; -3)? Назовите координаты ещё двух точек, принадлежащих этому графику, и двух точек, не принадлежащих ему.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику зависимости, нужно подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение $y = 1 - x$. Если равенство окажется верным, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

A(1; 0)

Подставляем координаты точки A в уравнение: $x=1$, $y=0$.

$0 = 1 - 1$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: точка A(1; 0) принадлежит графику.

B(-2; 3)

Подставляем координаты точки B в уравнение: $x=-2$, $y=3$.

$3 = 1 - (-2)$

$3 = 1 + 2$

$3 = 3$

Равенство верное, следовательно, точка принадлежит графику.

Ответ: точка B(-2; 3) принадлежит графику.

C(3; 2)

Подставляем координаты точки C в уравнение: $x=3$, $y=2$.

$2 = 1 - 3$

$2 = -2$

Равенство неверное, следовательно, точка не принадлежит графику.

Ответ: точка C(3; 2) не принадлежит графику.

D(-4; -3)

Подставляем координаты точки D в уравнение: $x=-4$, $y=-3$.

$-3 = 1 - (-4)$

$-3 = 1 + 4$

$-3 = 5$

Равенство неверное, следовательно, точка не принадлежит графику.

Ответ: точка D(-4; -3) не принадлежит графику.

Координаты ещё двух точек, принадлежащих этому графику

Чтобы найти точки, принадлежащие графику, можно выбрать любое значение для $x$ и вычислить соответствующее значение $y$ по формуле $y = 1 - x$.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 1 - 0 = 1$. Получаем точку с координатами (0; 1).

2. Возьмем $x = 5$. Тогда $y = 1 - 5 = -4$. Получаем точку с координатами (5; -4).

Ответ: например, точки (0; 1) и (5; -4) принадлежат графику.

Координаты двух точек, не принадлежащих ему

Чтобы найти точки, не принадлежащие графику, нужно выбрать такие координаты $(x; y)$, для которых равенство $y = 1 - x$ не будет выполняться.

1. Возьмем точку с координатами (0; 0). Проверим: $0 = 1 - 0$, или $0=1$. Равенство неверное, значит, точка не принадлежит графику.

2. Возьмем точку с координатами (2; 2). Проверим: $2 = 1 - 2$, или $2=-1$. Равенство неверное, значит, точка не принадлежит графику.

Ответ: например, точки (0; 0) и (2; 2) не принадлежат графику.

478 Из точек $A(0; 5)$, $B(-3; 2)$, $C(3; -8)$ и $D(-5; 0)$ выберите те, которые принадлежат графику зависимости $x + y = -5$.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику зависимости, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение $x + y = -5$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

A(0; 5)

Подставляем координаты точки A, где $x = 0$ и $y = 5$, в уравнение:

$0 + 5 = 5$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $5 \neq -5$.

Равенство неверное, следовательно, точка A не принадлежит графику.

B(-3; 2)

Подставляем координаты точки B, где $x = -3$ и $y = 2$, в уравнение:

$-3 + 2 = -1$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-1 \neq -5$.

Равенство неверное, следовательно, точка B не принадлежит графику.

C(3; -8)

Подставляем координаты точки C, где $x = 3$ и $y = -8$, в уравнение:

$3 + (-8) = 3 - 8 = -5$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-5 = -5$.

Равенство верное, следовательно, точка C принадлежит графику.

D(-5; 0)

Подставляем координаты точки D, где $x = -5$ и $y = 0$, в уравнение:

$-5 + 0 = -5$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-5 = -5$.

Равенство верное, следовательно, точка D принадлежит графику.

Ответ: графику зависимости $x + y = -5$ принадлежат точки C(3; -8) и D(-5; 0).

479 Постройте по точкам график зависимости, заданной равенством:

а) $y=-2x$;

б) $y=2-x$;

в) $y-x=3$.

Совет. В каждом случае составьте таблицу значений $x$ и $y$. В случае в удобно сначала выразить $y$ через $x: y=x+3$.

а)

Дана функция $y = -2x$. Это линейная функция, график которой — прямая линия. Поскольку уравнение имеет вид $y=kx$, график является прямой пропорциональностью и проходит через начало координат (точку (0, 0)). Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений, чтобы найти координаты нескольких точек, принадлежащих графику.

Таблица значений:

На координатной плоскости отметим точки с координатами (-1, 2), (0, 0) и (1, -2). Затем проведем через эти точки прямую. Эта прямая и будет графиком функции $y = -2x$. График расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=-2x$ — это прямая линия, проходящая, например, через точки (0, 0) и (1, -2).

б)

Дана функция $y = 2 - x$. Это линейная функция вида $y=kx+b$, её график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух любых точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

Составим таблицу значений:

При $x=0$, $y=2$. Получаем точку (0, 2) — точку пересечения с осью ординат (Oy). При $y=0$, $2-x=0$, откуда $x=2$. Получаем точку (2, 0) — точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Отметим точки (0, 2) и (2, 0) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая и будет графиком функции $y = 2 - x$.

Ответ: График функции $y=2-x$ — это прямая линия, проходящая, например, через точки (0, 2) и (2, 0).

в)

Дано равенство $y - x = 3$. Чтобы построить график, сначала выразим $y$ через $x$, как предложено в совете: $y = x + 3$. Получили линейную функцию вида $y=kx+b$, её график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек.

Составим таблицу значений:

При $x=0$, $y=3$. Получаем точку (0, 3) — точку пересечения с осью Oy. При $y=0$, $x+3=0$, откуда $x=-3$. Получаем точку (-3, 0) — точку пересечения с осью Ox. Отметим точки (0, 3) и (-3, 0) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая и будет графиком зависимости $y - x = 3$.

Ответ: График зависимости, заданной равенством $y-x=3$, — это прямая линия, проходящая, например, через точки (0, 3) и (-3, 0).

480 Задайте на алгебраическом языке и изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых:

а) ордината равна утроенной абсциссе; $y = 3x$

б) ордината на 3 больше абсциссы; $y = x + 3$

в) абсцисса на 2 больше ординаты; $x = y + 2$

г) сумма абсциссы и ординаты равна 4. $x + y = 4$

а) ордината равна утроенной абсциссе;

Обозначим координаты точки как $(x, y)$, где $x$ – это абсцисса, а $y$ – это ордината. Условие "ордината равна утроенной абсциссе" на алгебраическом языке записывается в виде уравнения. Ордината ($y$) равна абсциссе ($x$), умноженной на три.

Уравнение: $y = 3x$.

Это уравнение является уравнением прямой. Для того чтобы изобразить эту прямую на координатной плоскости, достаточно найти две точки, принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую линию.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 3 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$ – начало координат.

2. Возьмем $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.

Таким образом, искомое множество точек – это прямая, проходящая через начало координат и точку с координатами $(1, 3)$.

Ответ: Уравнение множества точек: $y = 3x$. Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$.

б) ордината на 3 больше абсциссы;

Пусть $x$ – абсцисса, а $y$ – ордината. Условие "ордината на 3 больше абсциссы" означает, что если к абсциссе прибавить 3, мы получим ординату.

Уравнение: $y = x + 3$.

Это также уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, через которые она проходит. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Для пересечения с осью ординат (ось OY) положим $x = 0$. Тогда $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.

2. Для пересечения с осью абсцисс (ось OX) положим $y = 0$. Тогда $0 = x + 3$, откуда $x = -3$. Получаем точку $(-3, 0)$.

Искомое множество точек – это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Уравнение множества точек: $y = x + 3$. Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$.

в) абсцисса на 2 больше ординаты;

Пусть $x$ – абсцисса, а $y$ – ордината. Условие "абсцисса на 2 больше ординаты" означает, что если к ординате прибавить 2, мы получим абсциссу.

Уравнение: $x = y + 2$.

Для удобства построения графика выразим $y$ через $x$: $y = x - 2$.

Это уравнение прямой. Найдем точки ее пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.

2. При $y = 0$, $0 = x - 2$, откуда $x = 2$. Точка пересечения с осью OX: $(2, 0)$.

Искомое множество точек – это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Уравнение множества точек: $y = x - 2$ (или $x = y + 2$). Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

г) сумма абсциссы и ординаты равна 4.

Пусть $x$ – абсцисса, а $y$ – ордината. Условие "сумма абсциссы и ординаты равна 4" записывается как:

Уравнение: $x + y = 4$.

Выразим $y$ через $x$ для построения графика: $y = -x + 4$.

Это уравнение прямой. Найдем точки ее пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$, $y = -0 + 4 = 4$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 4)$.

2. При $y = 0$, $0 = -x + 4$, откуда $x = 4$. Точка пересечения с осью OX: $(4, 0)$.

Искомое множество точек – это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Ответ: Уравнение множества точек: $x + y = 4$. Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

481 Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $y = x$ и $-2 \le x \le 3$;

б) $y - x = 0$ и $-1 \le x \le 1$;

в) $y = -x$ и $-4 \le x \le 4$;

г) $x + y = 0$ и $2 \le y \le 5$;

д) $|x| = |y|$ и $-1 \le x \le 1$;

е) $|y| = |x|$ и $-3 \le x \le 3$.

а) Условие состоит из уравнения $y=x$ и неравенства $-2 \le x \le 3$. Уравнение $y=x$ задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Неравенство $-2 \le x \le 3$ означает, что из всех точек этой прямой нужно выбрать только те, абсциссы которых лежат в промежутке от -2 до 3 включительно. Таким образом, искомое множество точек — это отрезок прямой.

Найдем координаты концов этого отрезка, подставив граничные значения $x$ в уравнение прямой:
При $x = -2$, $y = -2$. Координаты первой конечной точки: $(-2, -2)$.
При $x = 3$, $y = 3$. Координаты второй конечной точки: $(3, 3)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-2, -2)$ и $(3, 3)$.

б) Условие состоит из уравнения $y-x=0$ и неравенства $-1 \le x \le 1$. Уравнение $y-x=0$ эквивалентно уравнению $y=x$. Это та же прямая, что и в пункте а). Неравенство $-1 \le x \le 1$ ограничивает абсциссы точек на этой прямой.

Найдем координаты концов отрезка:
При $x = -1$, $y = -1$. Координаты первой конечной точки: $(-1, -1)$.
При $x = 1$, $y = 1$. Координаты второй конечной точки: $(1, 1)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

в) Условие состоит из уравнения $y=-x$ и неравенства $-4 \le x \le 4$. Уравнение $y=-x$ задает прямую, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Неравенство $-4 \le x \le 4$ ограничивает абсциссы точек на этой прямой.

Найдем координаты концов отрезка:
При $x = -4$, $y = -(-4) = 4$. Координаты первой конечной точки: $(-4, 4)$.
При $x = 4$, $y = -4$. Координаты второй конечной точки: $(4, -4)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=-x$ с концами в точках $(-4, 4)$ и $(4, -4)$.

г) Условие состоит из уравнения $x+y=0$ и неравенства $2 \le y \le 5$. Уравнение $x+y=0$ эквивалентно уравнению $y=-x$. Это та же прямая, что и в пункте в). Неравенство $2 \le y \le 5$ ограничивает ординаты точек на этой прямой.

Найдем координаты концов отрезка, подставляя граничные значения $y$ в уравнение $x=-y$:
При $y=2$, $x = -2$. Координаты первой конечной точки: $(-2, 2)$.
При $y=5$, $x = -5$. Координаты второй конечной точки: $(-5, 5)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=-x$ с концами в точках $(-5, 5)$ и $(-2, 2)$.

д) Условие состоит из уравнения $|x|=|y|$ и неравенства $-1 \le x \le 1$. Уравнение $|x|=|y|$ равносильно совокупности двух уравнений: $y=x$ и $y=-x$. Графиком этого уравнения является пара пересекающихся прямых (биссектрисы координатных углов). Неравенство $-1 \le x \le 1$ ограничивает искомые точки по оси абсцисс.

Рассмотрим каждую прямую отдельно:
1. Для прямой $y=x$ с учетом условия $-1 \le x \le 1$ получаем отрезок с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
2. Для прямой $y=-x$ с учетом условия $-1 \le x \le 1$ получаем отрезок с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.
Искомое множество точек является объединением этих двух отрезков.

Ответ: Объединение двух отрезков: одного с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, и другого с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.

е) Условие состоит из уравнения $|y|=|x|$ и неравенства $-3 \le x \le 3$. Уравнение $|y|=|x|$ идентично уравнению в пункте д) и задает пару прямых $y=x$ и $y=-x$. Неравенство $-3 \le x \le 3$ ограничивает искомые точки по оси абсцисс.

Рассмотрим каждую прямую отдельно:
1. Для прямой $y=x$ с учетом условия $-3 \le x \le 3$ получаем отрезок с концами в точках $(-3, -3)$ и $(3, 3)$.
2. Для прямой $y=-x$ с учетом условия $-3 \le x \le 3$ получаем отрезок с концами в точках $(-3, 3)$ и $(3, -3)$.
Искомое множество точек является объединением этих двух отрезков.

Ответ: Объединение двух отрезков: одного с концами в точках $(-3, -3)$ и $(3, 3)$, и другого с концами в точках $(-3, 3)$ и $(3, -3)$.

482 a) Составьте таблицу соответственных значений $x$ и $y$ по графику, который изображён на рисунке 5.32, а. Какая зависимость связывает координаты точек этой прямой? Запишите её на алгебраическом языке.

б) Выполните аналогичное задание, используя график, изображённый на рисунке 5.32, б.

а)

Поскольку в условии задачи отсутствует рисунок 5.32, а, мы решим задачу для гипотетического графика. Предположим, что на рисунке изображена прямая, проходящая через начало координат, точку (0,0), и точку (1,2).

Для начала составим таблицу соответственных значений x и y, выбрав несколько точек, лежащих на этой прямой. Например, точки (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4).

Таблица значений:

Далее определим зависимость, которая связывает координаты точек этой прямой. Из таблицы видно, что для каждой точки значение ординаты (y) в два раза больше значения абсциссы (x). Это зависимость прямой пропорциональности.

Теперь запишем эту зависимость на алгебраическом языке. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.
Поскольку прямая проходит через точку (0,0), подставим ее координаты в уравнение: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 0$. Уравнение принимает вид $y = kx$.
Теперь подставим координаты второй точки (1,2): $2 = k \cdot 1$, откуда получаем, что коэффициент наклона $k = 2$.
Таким образом, зависимость, связывающая координаты точек этой прямой, выражается формулой $y = 2x$.

Ответ: Таблица значений приведена выше. Зависимость: значение ординаты каждой точки в два раза больше значения ее абсциссы. Формула: $y = 2x$.

б)

Поскольку рисунок 5.32, б также отсутствует, решим задачу для другой гипотетической прямой. Предположим, что она проходит через точки (0,3) и (3,0).

Составим таблицу соответственных значений x и y, выбрав несколько точек, лежащих на этой прямой: (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0).

Таблица значений:

Теперь определим зависимость, которая связывает координаты точек этой прямой. Из таблицы видно, что для каждой точки сумма ее координат (x + y) является постоянной величиной и равна 3. Например: $-1 + 4 = 3$; $0 + 3 = 3$; $1 + 2 = 3$ и т.д.

Запишем эту зависимость на алгебраическом языке. Найдем уравнение этой прямой в виде $y = kx + b$.
Прямая проходит через точку (0,3), которая является точкой пересечения с осью OY. Это означает, что свободный член $b = 3$. Уравнение принимает вид $y = kx + 3$.
Подставим координаты второй точки (3,0): $0 = k \cdot 3 + 3$.
Решим уравнение относительно k: $3k = -3$, откуда $k = -1$.
Таким образом, искомая зависимость выражается формулой $y = -x + 3$. Эту формулу также можно записать в виде $x + y = 3$.

Ответ: Таблица значений приведена выше. Зависимость: сумма координат каждой точки равна 3. Формула: $y = -x + 3$ (или $x + y = 3$).

483 На рисунке 5.32, а изображена прямая, которая является графиком зависимости $y = \frac{1}{2} x$ (см. задание 482). Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую, симметричную этой прямой относительно оси ординат. Найдите зависимость, связывающую координаты точек построенной прямой, и задайте её алгебраически.

a) б) Рис. 5.32

Построение прямой, симметричной относительно оси ординат

Исходная прямая задана уравнением $y = \frac{1}{2}x$. Симметрия графика функции относительно оси ординат (оси $y$) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей исходному графику, на симметричном графике будет находиться точка с координатами $(-x, y)$. Другими словами, координата $y$ не изменяется, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный.

Чтобы построить новую прямую, найдем симметричные точки для нескольких точек исходной прямой:

• Возьмем точку $A(2, 1)$ на исходной прямой (поскольку $1 = \frac{1}{2} \cdot 2$). Симметричная ей точка будет $A'(-2, 1)$.
• Возьмем точку $B(-4, -2)$ на исходной прямой (поскольку $-2 = \frac{1}{2} \cdot (-4)$). Симметричная ей точка будет $B'(4, -2)$.
• Начало координат, точка $O(0, 0)$, также лежит на исходной прямой. Симметричная ей точка $O'(-0, 0)$ совпадает с ней. Это означает, что новая прямая тоже проходит через начало координат.

Проведя прямую через полученные точки $A'(-2, 1)$, $B'(4, -2)$ и $O(0, 0)$, мы получим искомый график.

Ответ: Для построения симметричной прямой необходимо для нескольких точек исходной прямой с координатами $(x, y)$ найти соответствующие им симметричные точки с координатами $(-x, y)$ и провести через них новую прямую.

Нахождение зависимости и её алгебраическая запись

Требуется найти уравнение, которое связывает координаты $x$ и $y$ для всех точек на построенной прямой.

Пусть точка $(x_0, y_0)$ принадлежит исходной прямой, то есть для нее выполняется равенство $y_0 = \frac{1}{2}x_0$.
Точка $(x, y)$, симметричная ей относительно оси ординат, имеет координаты $x = -x_0$ и $y = y_0$.

Наша задача — найти связь между $x$ и $y$. Для этого выразим $x_0$ и $y_0$ через $x$ и $y$ из соотношений симметрии:
$x_0 = -x$
$y_0 = y$

Теперь подставим эти выражения в уравнение исходной прямой $y_0 = \frac{1}{2}x_0$:
$y = \frac{1}{2}(-x)$

Упростив выражение, получаем итоговое уравнение для новой прямой:
$y = -\frac{1}{2}x$

Это и есть искомая зависимость, заданная алгебраически.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.

484 Известно, что график зависимости $y = 2x$ — прямая. Постройте эту прямую по точкам. (Сколько точек для этого достаточно?) Постройте прямую, симметричную относительно оси абсцисс прямой $y = 2x$. Найдите зависимость, которой удовлетворяют координаты точек этой прямой.

а) б) Рис. 5.32

Построение прямой $y=2x$ по точкам
Для построения прямой линии на плоскости достаточно знать координаты двух любых ее точек, так как согласно аксиоме геометрии через две точки можно провести только одну прямую. Чтобы построить график функции $y=2x$, найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.
1. Примем $x = 0$. Тогда значение функции $y = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку с координатами $(0; 0)$.
2. Примем $x = 1$. Тогда значение функции $y = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем точку с координатами $(1; 2)$.
Отметив эти две точки на координатной плоскости и соединив их прямой линией, мы получим график функции $y=2x$.
Ответ: Для построения прямой достаточно двух точек.

Построение прямой, симметричной относительно оси абсцисс, и нахождение её зависимости
При симметричном отображении относительно оси абсцисс (оси Ox) у каждой точки графика абсцисса ($x$) остается неизменной, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x_0; y_0)$ переходит в точку $(x_0; -y_0)$.
Найдем точки, симметричные тем, что мы использовали для построения исходной прямой: $(0; 0)$ и $(1; 2)$.
1. Точка, симметричная $(0; 0)$ относительно оси Ox, это точка $(0; -0)$, то есть она совпадает с исходной точкой $(0; 0)$.
2. Точка, симметричная $(1; 2)$ относительно оси Ox, это точка $(1; -2)$.
Проведя прямую через точки $(0; 0)$ и $(1; -2)$, мы получим график, симметричный прямой $y=2x$ относительно оси абсцисс.
Теперь найдем уравнение (зависимость) для этой новой прямой. Пусть произвольная точка $(x, y)$ принадлежит симметричной прямой. Это значит, что точка $(x, -y)$ принадлежит исходной прямой $y=2x$. Подставим координаты точки $(x, -y)$ в уравнение исходной прямой. То есть, в уравнении $y=2x$ заменим $y$ на $-y$, а $x$ оставим без изменений:
$(-y) = 2x$
Выразим $y$, умножив обе части на -1:
$y = -2x$
Это и есть искомая зависимость для прямой, симметричной данной относительно оси абсцисс.
Ответ: Зависимость, которой удовлетворяют координаты точек прямой, симметричной прямой $y=2x$ относительно оси абсцисс, имеет вид $y = -2x$.