Страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

a) Что является графиком зависимости, заданной условием $y = x$? Сделайте рисунок.

б) Назовите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику.

в) Есть ли на графике точка, абсцисса которой равна 245? Если есть, то какова её ордината?

а) Графиком зависимости, заданной условием $y = x$, является прямая линия. Эта функция является частным случаем линейной функции $y = kx + b$, где коэффициент $k=1$ и $b=0$. Такой тип функции называется прямой пропорциональностью.

График этой функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, и является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Это означает, что прямая делит эти углы ровно пополам, образуя угол в 45 градусов с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox).

Рисунок графика:

Ответ: Прямая линия, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.

б) Для любой точки, принадлежащей графику функции $y=x$, ее абсцисса (координата $x$) равна ее ординате (координате $y$). Таким образом, можно назвать бесконечно много таких точек, просто выбирая одинаковые значения для $x$ и $y$. Например, вот несколько таких точек: $(0, 0)$; $(1, 1)$; $(-2, -2)$; $(5, 5)$.

Ответ: Например, точки с координатами $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-2, -2)$.

в) Абсцисса точки — это ее координата по оси $x$. По условию, $x = 245$. Чтобы найти ординату (координату по оси $y$), нужно подставить данное значение $x$ в уравнение зависимости $y = x$.

При $x = 245$, получаем $y = 245$.

Следовательно, на графике существует точка с абсциссой 245. Ее ордината также равна 245. Координаты этой точки — $(245, 245)$.

Ответ: Да, на графике есть такая точка. Её ордината равна 245.

а) Что является графиком зависимости, заданной условием $y = -x$? Сделайте рисунок.

б) Есть ли на этом графике точка, абсцисса которой равна -125? Если есть, то какова её ордината?

в) Какие из следующих точек принадлежат этому графику: $(7; -7)$, $(-15; 15)$, $(100; 100)$, $(-20; 20)$, $(0; 0)$, $(10; -20)$?

а) Зависимость, заданная условием $y = -x$, является прямой пропорциональностью. Графиком такой зависимости является прямая линия.
Эта прямая проходит через начало координат, так как при $x = 0$, $y = -0 = 0$.
Коэффициент пропорциональности $k = -1$. Так как $k < 0$, прямая расположена во второй и четвертой координатных четвертях и является их биссектрисой.
Для построения графика (рисунка) достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

Рисунок представляет собой прямую линию, которая проходит через точки (0; 0), (3; -3) и (-2; 2).

Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

б) Чтобы определить, есть ли на графике точка с абсциссой (координатой $x$), равной -125, нужно подставить это значение в уравнение функции $y = -x$ и найти соответствующую ординату (координату $y$).
Подставляем $x = -125$:
$y = -(-125)$
$y = 125$
Таким образом, на графике существует точка с абсциссой -125, и её ордината равна 125. Координаты этой точки (-125; 125).

Ответ: Да, есть. Её ордината равна 125.

в) Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции $y = -x$, нужно подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение. Если получится верное равенство, точка принадлежит графику.

• Точка (7; –7):
  Подставляем $x=7, y=-7$: $-7 = -(7)$, что является верным равенством ($-7 = -7$). Точка принадлежит графику.
• Точка (–15; 15):
  Подставляем $x=-15, y=15$: $15 = -(-15)$, что является верным равенством ($15 = 15$). Точка принадлежит графику.
• Точка (100; 100):
  Подставляем $x=100, y=100$: $100 = -(100)$, что является неверным равенством ($100 \ne -100$). Точка не принадлежит графику.
• Точка (–20; 20):
  Подставляем $x=-20, y=20$: $20 = -(-20)$, что является верным равенством ($20 = 20$). Точка принадлежит графику.
• Точка (0; 0):
  Подставляем $x=0, y=0$: $0 = -(0)$, что является верным равенством ($0 = 0$). Точка принадлежит графику.
• Точка (10; –20):
  Подставляем $x=10, y=-20$: $-20 = -(10)$, что является неверным равенством ($-20 \ne -10$). Точка не принадлежит графику.

Ответ: (7; –7), (–15; 15), (–20; 20), (0; 0).

476 Действуем по плану

1) Постройте график зависимости

$y = x + 2$. Для этого:

Вычислите значения $y$ для указанных значений $x$ и заполните таблицу.

Постройте точки, координаты которых занесены в таблицу. Если вы всё сделали аккуратно, то все точки будут лежать на одной прямой.

Проведите эту прямую с помощью линейки.

2) Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат. Найдите координаты этих точек.

1) Постройте график зависимости y = x + 2.

Вычислите значения y для указанных значений x и заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, подставим каждое значение $x$ в уравнение $y = x + 2$ и вычислим соответствующее значение $y$.

• При $x = -4$, получаем $y = -4 + 2 = -2$.
• При $x = -3$, получаем $y = -3 + 2 = -1$.
• При $x = -2$, получаем $y = -2 + 2 = 0$.
• При $x = -1$, получаем $y = -1 + 2 = 1$.
• При $x = 0$, получаем $y = 0 + 2 = 2$.
• При $x = 1$, получаем $y = 1 + 2 = 3$.
• При $x = 2$, получаем $y = 2 + 2 = 4$.
• При $x = 3$, получаем $y = 3 + 2 = 5$.
• При $x = 4$, получаем $y = 4 + 2 = 6$.

Заполненная таблица:

Постройте точки, координаты которых занесены в таблицу.

На координатной плоскости отмечаем точки с координатами, которые мы нашли: $(-4, -2)$, $(-3, -1)$, $(-2, 0)$, $(-1, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$, $(4, 6)$.

Проведите эту прямую с помощью линейки.

Замечаем, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Это происходит потому, что функция $y = x + 2$ является линейной. Чтобы построить график, достаточно соединить любые две точки (например, $(-2, 0)$ и $(0, 2)$) и провести через них прямую линию с помощью линейки.

Ответ: График функции $y=x+2$ – это прямая, проходящая через точки, координаты которых приведены в заполненной таблице.

2) Отметьте точки пересечения построенной прямой с осями координат. Найдите координаты этих точек.

Точки пересечения прямой с осями координат можно найти аналитически.

Пересечение с осью ординат (ось $Oy$): происходит, когда $x = 0$.
Подставляем $x=0$ в уравнение функции:
$y = 0 + 2 = 2$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0, 2)$.

Пересечение с осью абсцисс (ось $Ox$): происходит, когда $y = 0$.
Подставляем $y=0$ в уравнение функции:
$0 = x + 2$.
Отсюда $x = -2$.
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $y$: $(0, 2)$. Точка пересечения с осью $x$: $(-2, 0)$.