Страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

457 Четырёхугольник ABCD, изображённый на рисунке 5.16, является прямоугольником. Найдите периметр этого прямоугольника.

$A(11;6)$

$D$

$C(-7;-8)$

$B(11;-8)$

$y$

$x$

$0$

Рис. 5.16

Для того чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, необходимо определить длины его сторон. Из рисунка и данных координат вершин A(11; 6), B(11; -8) и C(-7; -8) видно, что стороны прямоугольника параллельны осям координат.

Длину стороны AB можно найти как расстояние между точками A и B. Так как их x-координаты одинаковы ($x=11$), эта сторона параллельна оси y. Её длина равна модулю разности их y-координат:

$AB = |y_A - y_B| = |6 - (-8)| = |6 + 8| = 14$.

Длину стороны BC можно найти как расстояние между точками B и C. Так как их y-координаты одинаковы ($y=-8$), эта сторона параллельна оси x. Её длина равна модулю разности их x-координат:

$BC = |x_B - x_C| = |11 - (-7)| = |11 + 7| = 18$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. В нашем случае, это стороны AB и BC.

Подставим найденные значения длин сторон в формулу периметра:

$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (14 + 18) = 2 \cdot 32 = 64$.

Ответ: 64

458 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $ |x|=2; $

б) $ |x|\le1; $

в) $ |x|\ge3. $

Подсказка. Прочитайте данное условие, используя слово «расстояние», например: $ |x|=6 $ — расстояние от точки $x$ до 0 равно 6.

В данной задаче мы будем использовать геометрический смысл модуля числа. Модуль числа $|x|$ — это расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат (точки 0) на координатной прямой.

Данное равенство означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до точки 0 равно 2. На координатной прямой есть две такие точки: одна находится на расстоянии 2 единицы вправо от нуля, а другая — на расстоянии 2 единицы влево от нуля. Это точки с координатами $2$ и $-2$.

Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

Неравенство $|x| \le 1$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до точки 0 не превышает 1. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные между $-1$ и $1$, включая сами граничные точки. В виде двойного неравенства это записывается как $-1 \le x \le 1$. На координатной прямой это множество точек представляет собой отрезок.

Ответ: отрезок $[-1, 1]$, что соответствует неравенству $-1 \le x \le 1$.

Неравенство $|x| \ge 3$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до точки 0 больше или равно 3. Этому условию удовлетворяют все точки, которые удалены от нуля на 3 единицы или более. Это точки на луче, идущем от 3 вправо (включая точку 3), и точки на луче, идущем от -3 влево (включая точку -3). То есть, $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Ответ: объединение лучей $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$, что соответствует совокупности неравенств $x \le -3$ и $x \ge 3$.

459 1) Задайте двойным неравенством множество точек, удовлетворяющих условию $|x|<4$.

2) Задайте промежуток $-6 < x < 6$ с помощью неравенства с модулем.

1)

Неравенство с модулем вида $|x| < a$, где $a$ — положительное число, равносильно двойному неравенству $-a < x < a$. Это свойство следует из определения модуля: модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Условие $|x| < a$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля меньше $a$, то есть точка $x$ находится между $-a$ и $a$.

Для заданного неравенства $|x| < 4$, мы имеем $a = 4$.

Применяя указанное свойство, получаем искомое двойное неравенство:

$-4 < x < 4$

Ответ: $-4 < x < 4$.

2)

Нам дано двойное неравенство $-6 < x < 6$.

Это неравенство описывает все числа $x$, которые расположены на координатной прямой строго между точками $-6$ и $6$. Геометрически это означает, что расстояние от любого такого числа $x$ до нуля меньше, чем $6$.

Расстояние от числа $x$ до нуля на координатной прямой по определению равно модулю этого числа, то есть $|x|$.

Следовательно, условие "расстояние от $x$ до нуля меньше 6" можно записать как неравенство с модулем:

$|x| < 6$

Ответ: $|x| < 6$.

460 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

1) Прочитайте, используя слово «расстояние»:

а) $|m - 1|=5$

б) $|m - 6|<20$

в) $|a - (-2)|>3$

г) $|c + 10|\le 1$

2) Запишите предложения с помощью знака модуля:

а) $|c - 5|=8$

б) $|a - 3|>1$

в) $|b - (-9)|\le 10$

г) $|y - (-2)|\ge 12$

1) Геометрический смысл модуля разности двух чисел $|a - b|$ — это расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ на числовой прямой. Используя это правило, прочитаем данные выражения.

а) Выражение $|m - 1| = 5$ означает, что расстояние между точкой с координатой $m$ и точкой с координатой 1 равно 5.

Ответ: Расстояние между точками $m$ и 1 равно 5.

б) Выражение $|m - 6| < 20$ означает, что расстояние между точкой с координатой $m$ и точкой с координатой 6 меньше 20.

Ответ: Расстояние между точками $m$ и 6 меньше 20.

в) Выражение $|a - (-2)| > 3$ означает, что расстояние между точкой с координатой $a$ и точкой с координатой -2 больше 3.

Ответ: Расстояние между точками $a$ и -2 больше 3.

г) Чтобы прочитать выражение $|c + 10| \le 1$, представим его в виде разности: $|c - (-10)| \le 1$. Это означает, что расстояние между точкой с координатой $c$ и точкой с координатой -10 меньше или равно 1.

Ответ: Расстояние между точками $c$ и -10 меньше или равно 1.

2) Для записи предложений с помощью знака модуля используем то же правило: расстояние между точками $a$ и $b$ равно $|a - b|$.

а) Расстояние между точками $c$ и 5 равно 8. Записываем это как модуль разности координат, который равен 8.

Ответ: $|c - 5| = 8$.

б) Расстояние между точками $a$ и 3 больше 1. Записываем модуль разности координат и ставим знак "больше".

Ответ: $|a - 3| > 1$.

в) Расстояние между точками $b$ и -9 меньше или равно 10. Расстояние между $b$ и -9 это $|b - (-9)|$, что равно $|b + 9|$.

Ответ: $|b + 9| \le 10$.

г) Расстояние между точками $y$ и -2 больше или равно 12. Расстояние между $y$ и -2 это $|y - (-2)|$, что равно $|y + 2|$.

Ответ: $|y + 2| \ge 12$.

461 Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $ |x - 5|=3 $, $ |x - 5|\le 3 $, $ |x - 5|\ge 3 $;

б) $ |x - 1|=6 $, $ |x - 1|<6 $, $ |x - 1|>6 $;

в) $ |x + 3|=4 $, $ |x + 3|\le 4 $, $ |x + 3|\ge 4 $;

г) $ |x + 2|=5 $, $ |x + 2|<5 $, $ |x + 2|>5 $.