Номер 461, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Расстояние между точками координатной прямой. Глава 5. Координаты и графики - номер 461, страница 134.

461 Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $ |x - 5|=3 $, $ |x - 5|\le 3 $, $ |x - 5|\ge 3 $;

б) $ |x - 1|=6 $, $ |x - 1|<6 $, $ |x - 1|>6 $;

в) $ |x + 3|=4 $, $ |x + 3|\le 4 $, $ |x + 3|\ge 4 $;

г) $ |x + 2|=5 $, $ |x + 2|<5 $, $ |x + 2|>5 $.

а)

Решение для $|x - 5| = 3$:
Выражение $|x - a|$ означает расстояние между точками $x$ и $a$ на координатной прямой. Таким образом, уравнение $|x - 5| = 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 равно 3. Таких точек две: одна на 3 единицы вправо от 5, другая — на 3 единицы влево.
Алгебраически, уравнение $|x - 5| = 3$ равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x - 5 = 3 \Rightarrow x = 8$
2) $x - 5 = -3 \Rightarrow x = 2$
Множество точек состоит из двух чисел. На координатной прямой это две закрашенные точки.
Ответ: $x \in \{2, 8\}$.

Решение для $|x - 5| \le 3$:
Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 не превышает 3. Это множество всех точек, которые находятся между $5-3=2$ и $5+3=8$, включая сами эти точки.
Алгебраически, неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 \le x - 5 \le 3$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$5 - 3 \le x \le 5 + 3$
$2 \le x \le 8$
На координатной прямой это отрезок с концами в точках 2 и 8.
Ответ: $x \in [2, 8]$.

Решение для $|x - 5| \ge 3$:
Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки 5 больше или равно 3. Это множество всех точек, которые лежат левее точки 2 (включая 2) или правее точки 8 (включая 8).
Алгебраически, неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $x - 5 \ge 3 \Rightarrow x \ge 8$
2) $x - 5 \le -3 \Rightarrow x \le 2$
На координатной прямой это объединение двух лучей: один идет от 2 влево, другой — от 8 вправо.
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [8, +\infty)$.

б)

Решение для $|x - 1| = 6$:
Расстояние от точки $x$ до точки 1 равно 6.
1) $x - 1 = 6 \Rightarrow x = 7$
2) $x - 1 = -6 \Rightarrow x = -5$
На координатной прямой это две закрашенные точки.
Ответ: $x \in \{-5, 7\}$.

Решение для $|x - 1| < 6$:
Расстояние от точки $x$ до точки 1 строго меньше 6. Это точки между $1-6=-5$ и $1+6=7$.
Алгебраически:
$-6 < x - 1 < 6$
$1 - 6 < x < 1 + 6$
$-5 < x < 7$
На координатной прямой это интервал с концами в точках -5 и 7 (точки не включаются, изображаются выколотыми).
Ответ: $x \in (-5, 7)$.

Решение для $|x - 1| > 6$:
Расстояние от точки $x$ до точки 1 строго больше 6.
1) $x - 1 > 6 \Rightarrow x > 7$
2) $x - 1 < -6 \Rightarrow x < -5$
На координатной прямой это объединение двух открытых лучей (интервалов): один идет от -5 влево, другой — от 7 вправо.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (7, +\infty)$.

в)

Решение для $|x + 3| = 4$:
Уравнение можно переписать как $|x - (-3)| = 4$. Расстояние от точки $x$ до точки -3 равно 4.
1) $x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1$
2) $x + 3 = -4 \Rightarrow x = -7$
На координатной прямой это две закрашенные точки.
Ответ: $x \in \{-7, 1\}$.

Решение для $|x + 3| \le 4$:
Расстояние от точки $x$ до точки -3 не превышает 4. Это точки между $-3-4=-7$ и $-3+4=1$.
Алгебраически:
$-4 \le x + 3 \le 4$
$-3 - 4 \le x \le -3 + 4$
$-7 \le x \le 1$
На координатной прямой это отрезок с концами в точках -7 и 1.
Ответ: $x \in [-7, 1]$.

Решение для $|x + 3| \ge 4$:
Расстояние от точки $x$ до точки -3 больше или равно 4.
1) $x + 3 \ge 4 \Rightarrow x \ge 1$
2) $x + 3 \le -4 \Rightarrow x \le -7$
На координатной прямой это объединение двух лучей: один идет от -7 влево, другой — от 1 вправо.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$.

г)

Решение для $|x + 2| = 5$:
Уравнение можно переписать как $|x - (-2)| = 5$. Расстояние от точки $x$ до точки -2 равно 5.
1) $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$
2) $x + 2 = -5 \Rightarrow x = -7$
На координатной прямой это две закрашенные точки.
Ответ: $x \in \{-7, 3\}$.

Решение для $|x + 2| < 5$:
Расстояние от точки $x$ до точки -2 строго меньше 5. Это точки между $-2-5=-7$ и $-2+5=3$.
Алгебраически:
$-5 < x + 2 < 5$
$-2 - 5 < x < -2 + 5$
$-7 < x < 3$
На координатной прямой это интервал с выколотыми концами в точках -7 и 3.
Ответ: $x \in (-7, 3)$.

Решение для $|x + 2| > 5$:
Расстояние от точки $x$ до точки -2 строго больше 5.
1) $x + 2 > 5 \Rightarrow x > 3$
2) $x + 2 < -5 \Rightarrow x < -7$
На координатной прямой это объединение двух открытых лучей: один идет от -7 влево, другой — от 3 вправо.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty)$.