Номер 458, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.2. Расстояние между точками координатной прямой. Глава 5. Координаты и графики - номер 458, страница 134.

458 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $ |x|=2; $

б) $ |x|\le1; $

в) $ |x|\ge3. $

Подсказка. Прочитайте данное условие, используя слово «расстояние», например: $ |x|=6 $ — расстояние от точки $x$ до 0 равно 6.

В данной задаче мы будем использовать геометрический смысл модуля числа. Модуль числа $|x|$ — это расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат (точки 0) на координатной прямой.

а) $|x| = 2$

Данное равенство означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до точки 0 равно 2. На координатной прямой есть две такие точки: одна находится на расстоянии 2 единицы вправо от нуля, а другая — на расстоянии 2 единицы влево от нуля. Это точки с координатами $2$ и $-2$.

Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

б) $|x| \le 1$

Неравенство $|x| \le 1$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до точки 0 не превышает 1. Этому условию удовлетворяют все точки, расположенные между $-1$ и $1$, включая сами граничные точки. В виде двойного неравенства это записывается как $-1 \le x \le 1$. На координатной прямой это множество точек представляет собой отрезок.

Ответ: отрезок $[-1, 1]$, что соответствует неравенству $-1 \le x \le 1$.

в) $|x| \ge 3$

Неравенство $|x| \ge 3$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до точки 0 больше или равно 3. Этому условию удовлетворяют все точки, которые удалены от нуля на 3 единицы или более. Это точки на луче, идущем от 3 вправо (включая точку 3), и точки на луче, идущем от -3 влево (включая точку -3). То есть, $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Ответ: объединение лучей $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$, что соответствует совокупности неравенств $x \le -3$ и $x \ge 3$.