Номер 2, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 5.3. Множества точек на координатной плоскости. Глава 5. Координаты и графики - номер 2, страница 137.

На рисунке 5.21, в изображена полуплоскость, заданная неравенством $y \ge -1$. Какие из следующих точек принадлежат этой полуплоскости:

(-3; 1), (2; 0), (2; -3), (0; -2), (3; -1), (100; -2), (-1; 100)?

a) $x \le 1$

б) $y < -2$

в) $y \ge -1$

Рис. 5.21

Чтобы определить, принадлежит ли точка полуплоскости, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в неравенство, задающее эту полуплоскость. Если неравенство выполняется (обращается в верное числовое неравенство), то точка принадлежит полуплоскости. В противном случае — не принадлежит.

Проверим каждую из точек $(-3; 1)$, $(2; 0)$, $(2; -3)$, $(0; -2)$, $(3; -1)$, $(100; -2)$, $(-1; 100)$ для каждой из трех полуплоскостей.

а)

Полуплоскость задана неравенством $x \le 1$. Проверяем принадлежность точек, подставляя их абсциссу (координату $x$) в неравенство.

• Точка $(-3; 1)$: $x = -3$. Неравенство $-3 \le 1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; 0)$: $x = 2$. Неравенство $2 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; -3)$: $x = 2$. Неравенство $2 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(0; -2)$: $x = 0$. Неравенство $0 \le 1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(3; -1)$: $x = 3$. Неравенство $3 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(100; -2)$: $x = 100$. Неравенство $100 \le 1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(-1; 100)$: $x = -1$. Неравенство $-1 \le 1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

Ответ: полуплоскости $x \le 1$ принадлежат точки $(-3; 1)$, $(0; -2)$, $(-1; 100)$.

б)

Полуплоскость задана неравенством $y < -2$. Проверяем принадлежность точек, подставляя их ординату (координату $y$) в неравенство. Граница $y = -2$ (пунктирная линия) не включается в полуплоскость.

• Точка $(-3; 1)$: $y = 1$. Неравенство $1 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; 0)$: $y = 0$. Неравенство $0 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; -3)$: $y = -3$. Неравенство $-3 < -2$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(0; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости (она лежит на границе).

• Точка $(3; -1)$: $y = -1$. Неравенство $-1 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(100; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости (она лежит на границе).

• Точка $(-1; 100)$: $y = 100$. Неравенство $100 < -2$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

Ответ: полуплоскости $y < -2$ принадлежит точка $(2; -3)$.

в)

Полуплоскость задана неравенством $y \ge -1$. Проверяем принадлежность точек, подставляя их ординату (координату $y$) в неравенство. Граница $y = -1$ (сплошная линия) включается в полуплоскость.

• Точка $(-3; 1)$: $y = 1$. Неравенство $1 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; 0)$: $y = 0$. Неравенство $0 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

• Точка $(2; -3)$: $y = -3$. Неравенство $-3 \ge -1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(0; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 \ge -1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(3; -1)$: $y = -1$. Неравенство $-1 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости (она лежит на границе).

• Точка $(100; -2)$: $y = -2$. Неравенство $-2 \ge -1$ является неверным. Значит, точка не принадлежит полуплоскости.

• Точка $(-1; 100)$: $y = 100$. Неравенство $100 \ge -1$ является верным. Значит, точка принадлежит полуплоскости.

Ответ: полуплоскости $y \ge -1$ принадлежат точки $(-3; 1)$, $(2; 0)$, $(3; -1)$, $(-1; 100)$.