Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

472 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

a) $|x| = 3$;

б) $|y| = 1$;

в) $|y| \leq 2$;

г) $|x| \geq 5$;

д) $|x| \leq 3$ и $|y| \leq 3$;

е) $|x| \geq 3$ и $|y| \geq 3$.

а) $|x| = 3$

Уравнение $|x| = 3$ означает, что модуль (абсолютное значение) абсциссы $x$ равен 3. Это условие выполняется для двух значений $x$: $x = 3$ и $x = -3$.

На координатной плоскости уравнение $x = c$, где $c$ — константа, задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(c, 0)$ параллельно оси ординат (оси $y$).

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих условию $|x| = 3$, представляет собой две параллельные вертикальные прямые: $x = 3$ и $x = -3$.

Ответ: Две параллельные прямые, заданные уравнениями $x = 3$ и $x = -3$.

б) $|y| = 1$

Уравнение $|y| = 1$ означает, что модуль ординаты $y$ равен 1. Это условие выполняется для двух значений $y$: $y = 1$ и $y = -1$.

На координатной плоскости уравнение $y = c$, где $c$ — константа, задает горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, c)$ параллельно оси абсцисс (оси $x$).

Следовательно, множество точек, удовлетворяющих условию $|y| = 1$, — это две параллельные горизонтальные прямые: $y = 1$ и $y = -1$.

Ответ: Две параллельные прямые, заданные уравнениями $y = 1$ и $y = -1$.

в) $|y| \le 2$

Неравенство с модулем $|y| \le 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \le y \le 2$.

Это условие означает, что ордината $y$ любой точки из искомого множества должна находиться в промежутке от -2 до 2 включительно, в то время как абсцисса $x$ может принимать любое действительное значение.

Границами этой области являются горизонтальные прямые $y = -2$ и $y = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сами прямые также включаются в множество решений.

Геометрически это представляет собой бесконечную горизонтальную полосу, заключенную между этими двумя прямыми.

Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y = -2$ и $y = 2$, включая сами прямые.

г) $|x| \ge 5$

Неравенство с модулем $|x| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 5$ или $x \le -5$.

Неравенство $x \ge 5$ задает на координатной плоскости все точки, которые лежат на вертикальной прямой $x=5$ или правее нее. Это правая замкнутая полуплоскость.

Неравенство $x \le -5$ задает все точки, которые лежат на вертикальной прямой $x=-5$ или левее нее. Это левая замкнутая полуплоскость.

Искомое множество является объединением этих двух полуплоскостей.

Ответ: Объединение двух замкнутых полуплоскостей: множество точек, для которых $x \ge 5$, и множество точек, для которых $x \le -5$.

д) $|x| \le 3$ и $|y| \le 3$

Данное условие представляет собой систему из двух неравенств:
1. $|x| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le x \le 3$. Это множество точек, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x = -3$ и $x = 3$ (включая границы).
2. $|y| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le y \le 3$. Это множество точек, расположенных в горизонтальной полосе между прямыми $y = -3$ и $y = 3$ (включая границы).

Союз "и" означает, что мы ищем пересечение этих двух множеств, то есть точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.

Пересечением вертикальной и горизонтальной полос является квадрат, ограниченный прямыми $x = -3, x = 3, y = -3, y = 3$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(-3, -3)$, $(3, -3)$, $(3, 3)$ и $(-3, 3)$. Поскольку неравенства нестрогие, область включает в себя как внутреннюю часть квадрата, так и его стороны.

Ответ: Замкнутый квадрат с вершинами в точках $(-3, -3)$, $(3, -3)$, $(3, 3)$ и $(-3, 3)$.

е) $|x| \ge 3$ и $|y| \ge 3$

Это условие также является системой двух неравенств:
1. $|x| \ge 3$, что эквивалентно $x \ge 3$ или $x \le -3$. Это область вне открытой вертикальной полосы $(-3, 3)$.
2. $|y| \ge 3$, что эквивалентно $y \ge 3$ или $y \le -3$. Это область вне открытой горизонтальной полосы $(-3, 3)$.

Союз "и" требует одновременного выполнения обоих условий. Точка $(x,y)$ должна удовлетворять одному из условий для $x$ и одному из условий для $y$. Это приводит к четырем возможным комбинациям, которые определяют четыре области на плоскости:

• $x \ge 3$ и $y \ge 3$ (бесконечная область в первом координатном углу)
• $x \le -3$ и $y \ge 3$ (бесконечная область во втором координатном углу)
• $x \le -3$ и $y \le -3$ (бесконечная область в третьем координатном углу)
• $x \ge 3$ и $y \le -3$ (бесконечная область в четвертом координатном углу)

Эти четыре области вместе образуют всю координатную плоскость за исключением открытого "креста", образованного полосами $|x| < 3$ и $|y| < 3$. Границы областей ($x = \pm 3, y = \pm 3$) включены в искомое множество.

Ответ: Объединение четырех замкнутых неограниченных областей (углов), заданных системами неравенств: ($x \ge 3, y \ge 3$), ($x \le -3, y \ge 3$), ($x \le -3, y \le -3$), ($x \ge 3, y \le -3$).

473 Изобразите на координатной плоскости множество точек,

заданное условиями:

а) $y=1$ и $x>3$;

б) $y=3$ и $1<x<3$;

в) $|y|=2$ и $|x|>4$.

а) $y=1$ и $x>3$

Условие $y=1$ задает на координатной плоскости прямую, параллельную оси абсцисс (оси Ox) и проходящую через точку $(0; 1)$.

Условие $x>3$ задает на координатной плоскости открытую полуплоскость, расположенную правее прямой $x=3$. Сама прямая $x=3$ в это множество не входит, поэтому на графике она изображается пунктирной линией.

Искомое множество точек — это пересечение этих двух множеств. Это часть прямой $y=1$, для которой абсциссы точек строго больше 3. Геометрически это луч, лежащий на прямой $y=1$, с началом в точке $(3; 1)$, причем сама точка $(3; 1)$ не принадлежит множеству (обозначается выколотой точкой).

Ответ: Искомое множество точек — это луч на прямой $y=1$ с выколотым началом в точке $(3; 1)$, направленный вправо параллельно оси Ox.

б) $y=3$ и $1<x<3$

Условие $y=3$ задает прямую, параллельную оси Ox и проходящую через точку $(0; 3)$.

Условие $1<x<3$ задает на координатной плоскости вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x=1$ и $x=3$. Сами прямые $x=1$ и $x=3$ в это множество не входят.

Искомое множество точек — это пересечение прямой $y=3$ и полосы $1<x<3$. Это отрезок прямой $y=3$, концами которого являются точки $(1; 3)$ и $(3; 3)$. Поскольку неравенства для $x$ строгие, концы отрезка не принадлежат множеству и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Искомое множество точек — это отрезок прямой $y=3$, заключенный между точками $(1; 3)$ и $(3; 3)$, не включая сами эти точки.

в) $|y|=2$ и $|x|>4$

Раскроем модули в условиях.
Условие $|y|=2$ равносильно совокупности двух уравнений: $y=2$ или $y=-2$. Это задает на плоскости две горизонтальные прямые, параллельные оси Ox.

Условие $|x|>4$ равносильно совокупности двух неравенств: $x>4$ или $x<-4$. Это задает объединение двух открытых полуплоскостей: одна расположена правее прямой $x=4$, а другая — левее прямой $x=-4$.

Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Это означает, что мы ищем точки на прямых $y=2$ и $y=-2$, у которых абсцисса по модулю больше 4.
Рассмотрим каждую прямую отдельно:
1. Для прямой $y=2$ и условия $|x|>4$: получаем два луча. Первый — часть прямой $y=2$ при $x>4$, то есть луч с выколотым началом в точке $(4; 2)$, направленный вправо. Второй — часть прямой $y=2$ при $x<-4$, то есть луч с выколотым началом в точке $(-4; 2)$, направленный влево.
2. Для прямой $y=-2$ и условия $|x|>4$: аналогично получаем два луча. Первый — часть прямой $y=-2$ при $x>4$, то есть луч с выколотым началом в точке $(4; -2)$, направленный вправо. Второй — часть прямой $y=-2$ при $x<-4$, то есть луч с выколотым началом в точке $(-4; -2)$, направленный влево.

Таким образом, искомое множество состоит из четырех лучей.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение четырех лучей:
1) луч на прямой $y=2$ с выколотым началом в точке $(4; 2)$, направленный вправо;
2) луч на прямой $y=2$ с выколотым началом в точке $(-4; 2)$, направленный влево;
3) луч на прямой $y=-2$ с выколотым началом в точке $(4; -2)$, направленный вправо;
4) луч на прямой $y=-2$ с выколотым началом в точке $(-4; -2)$, направленный влево.

474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую, симметричную точкам прямой $x = 3$:

а) относительно оси ординат;

б) относительно прямой $x=1$.

Исходная прямая задана уравнением $x = 3$. Это вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу (координату $x$), равную 3. Она параллельна оси ординат (оси OY) и проходит через точку $(3, 0)$. Любая точка на этой прямой может быть записана в виде $(3, y)$, где $y$ — произвольное действительное число.

а) относительно оси ординат

Нужно найти прямую, симметричную прямой $x = 3$ относительно оси ординат. Ось ординат (ось OY) задается уравнением $x = 0$.

При осевой симметрии относительно оси ординат точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$. То есть абсцисса меняет знак, а ордината остается неизменной.

Возьмем произвольную точку $A(3, y)$ на прямой $x = 3$.

Найдем симметричную ей точку $A'$ относительно оси ординат. Ее координаты будут $(-3, y)$.

Так как это рассуждение верно для любой точки на прямой $x=3$, то множество всех симметричных точек образует новую прямую, на которой все точки имеют абсциссу, равную $-3$.

Алгебраически эта прямая описывается уравнением $x = -3$.

На координатной плоскости это будет вертикальная прямая, проходящая через точку $(-3, 0)$, параллельная оси OY. Она находится на том же расстоянии от оси OY, что и прямая $x=3$, но с противоположной стороны.

Ответ: $x = -3$.

б) относительно прямой x = 1

Нужно найти прямую, симметричную прямой $x = 3$ относительно прямой $x = 1$. Прямая $x = 1$ — это ось симметрии.

Исходная прямая ($x=3$) и ось симметрии ($x=1$) — обе вертикальные. Следовательно, искомая симметричная прямая также будет вертикальной и будет описываться уравнением вида $x = c$.

Для нахождения $c$ воспользуемся тем, что симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Расстояние от прямой $x = 3$ до прямой $x = 1$ равно $|3 - 1| = 2$.

Следовательно, искомая прямая $x = c$ должна находиться на таком же расстоянии (2 единицы) от прямой $x = 1$, но с другой стороны. Так как прямая $x = 3$ находится правее прямой $x = 1$, то искомая прямая будет находиться левее.

Координата $c$ будет равна $1 - 2 = -1$.

Таким образом, уравнение искомой прямой $x = -1$.

Другой способ — через координаты. Пусть точка $A(3, y)$ принадлежит исходной прямой, а точка $A'(x', y')$ — симметричная ей относительно прямой $x = 1$. При такой симметрии ординаты точек совпадают ($y' = y$), а абсцисса оси симметрии является средним арифметическим абсцисс симметричных точек:

$1 = \frac{3 + x'}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2 = 3 + x'$

$x' = 2 - 3 = -1$

Все точки симметричной прямой имеют абсциссу $-1$.

Ответ: $x = -1$.

475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы, заданной неравенством $2 \le y \le 5$.

Исходное множество точек — это горизонтальная полоса, заданная двойным неравенством $2 \le y \le 5$. Это все точки на координатной плоскости, ординаты которых находятся в промежутке от 2 до 5 включительно, а абсциссы могут быть любыми действительными числами. Графически это область между прямыми $y=2$ и $y=5$, включая сами прямые.

Для нахождения множества точек, симметричных данному относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо преобразовать координаты каждой точки исходного множества. При симметрии относительно оси абсцисс любая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x', y')$, координаты которой определяются по правилам:
$x' = x$ (абсцисса остается неизменной)
$y' = -y$ (ордината меняет свой знак на противоположный)

Наша задача — найти неравенство, описывающее множество новых точек, то есть найти условия для координат $y'$. Из правила преобразования $y' = -y$ выразим старую координату $y$ через новую $y'$:
$y = -y'$

Теперь подставим это выражение для $y$ в исходное неравенство $2 \le y \le 5$:
$2 \le -y' \le 5$

Чтобы найти диапазон значений для $y'$, умножим все части этого двойного неравенства на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 2 \ge -1 \cdot (-y') \ge -1 \cdot 5$
$-2 \ge y' \ge -5$

Для стандартной формы записи запишем полученное неравенство в порядке возрастания:
$-5 \le y' \le -2$

Это и есть алгебраическое описание искомого множества точек.

Теперь изобразим это множество на координатной плоскости. Неравенство $-5 \le y \le -2$ задает новую горизонтальную полосу. Эта полоса:

• расположена ниже оси абсцисс;
• ограничена снизу прямой $y=-5$;
• ограничена сверху прямой $y=-2$.

Поскольку неравенство нестрогое (содержит знаки $\le$), то сами граничные прямые $y=-5$ и $y=-2$ принадлежат искомому множеству. На графике их следует изобразить сплошными линиями, а область между ними заштриховать.

Ответ: Множество точек, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы $2 \le y \le 5$, описывается на алгебраическом языке неравенством $-5 \le y \le -2$. Графически это множество представляет собой горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=-5$ и $y=-2$, включая сами прямые.