Номер 474, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. Множества точек на координатной плоскости. Глава 5. Координаты и графики - номер 474, страница 139.

474 Постройте на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке прямую, симметричную точкам прямой $x = 3$:

а) относительно оси ординат;

б) относительно прямой $x=1$.

Исходная прямая задана уравнением $x = 3$. Это вертикальная прямая, все точки которой имеют абсциссу (координату $x$), равную 3. Она параллельна оси ординат (оси OY) и проходит через точку $(3, 0)$. Любая точка на этой прямой может быть записана в виде $(3, y)$, где $y$ — произвольное действительное число.

а) относительно оси ординат

Нужно найти прямую, симметричную прямой $x = 3$ относительно оси ординат. Ось ординат (ось OY) задается уравнением $x = 0$.

При осевой симметрии относительно оси ординат точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(-x, y)$. То есть абсцисса меняет знак, а ордината остается неизменной.

Возьмем произвольную точку $A(3, y)$ на прямой $x = 3$.

Найдем симметричную ей точку $A'$ относительно оси ординат. Ее координаты будут $(-3, y)$.

Так как это рассуждение верно для любой точки на прямой $x=3$, то множество всех симметричных точек образует новую прямую, на которой все точки имеют абсциссу, равную $-3$.

Алгебраически эта прямая описывается уравнением $x = -3$.

На координатной плоскости это будет вертикальная прямая, проходящая через точку $(-3, 0)$, параллельная оси OY. Она находится на том же расстоянии от оси OY, что и прямая $x=3$, но с противоположной стороны.

Ответ: $x = -3$.

б) относительно прямой x = 1

Нужно найти прямую, симметричную прямой $x = 3$ относительно прямой $x = 1$. Прямая $x = 1$ — это ось симметрии.

Исходная прямая ($x=3$) и ось симметрии ($x=1$) — обе вертикальные. Следовательно, искомая симметричная прямая также будет вертикальной и будет описываться уравнением вида $x = c$.

Для нахождения $c$ воспользуемся тем, что симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Расстояние от прямой $x = 3$ до прямой $x = 1$ равно $|3 - 1| = 2$.

Следовательно, искомая прямая $x = c$ должна находиться на таком же расстоянии (2 единицы) от прямой $x = 1$, но с другой стороны. Так как прямая $x = 3$ находится правее прямой $x = 1$, то искомая прямая будет находиться левее.

Координата $c$ будет равна $1 - 2 = -1$.

Таким образом, уравнение искомой прямой $x = -1$.

Другой способ — через координаты. Пусть точка $A(3, y)$ принадлежит исходной прямой, а точка $A'(x', y')$ — симметричная ей относительно прямой $x = 1$. При такой симметрии ординаты точек совпадают ($y' = y$), а абсцисса оси симметрии является средним арифметическим абсцисс симметричных точек:

$1 = \frac{3 + x'}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2 = 3 + x'$

$x' = 2 - 3 = -1$

Все точки симметричной прямой имеют абсциссу $-1$.

Ответ: $x = -1$.