Номер 472, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. Множества точек на координатной плоскости. Глава 5. Координаты и графики - номер 472, страница 139.

472 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

a) $|x| = 3$;

б) $|y| = 1$;

в) $|y| \leq 2$;

г) $|x| \geq 5$;

д) $|x| \leq 3$ и $|y| \leq 3$;

е) $|x| \geq 3$ и $|y| \geq 3$.

а) $|x| = 3$

Уравнение $|x| = 3$ означает, что модуль (абсолютное значение) абсциссы $x$ равен 3. Это условие выполняется для двух значений $x$: $x = 3$ и $x = -3$.

На координатной плоскости уравнение $x = c$, где $c$ — константа, задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(c, 0)$ параллельно оси ординат (оси $y$).

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих условию $|x| = 3$, представляет собой две параллельные вертикальные прямые: $x = 3$ и $x = -3$.

Ответ: Две параллельные прямые, заданные уравнениями $x = 3$ и $x = -3$.

б) $|y| = 1$

Уравнение $|y| = 1$ означает, что модуль ординаты $y$ равен 1. Это условие выполняется для двух значений $y$: $y = 1$ и $y = -1$.

На координатной плоскости уравнение $y = c$, где $c$ — константа, задает горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, c)$ параллельно оси абсцисс (оси $x$).

Следовательно, множество точек, удовлетворяющих условию $|y| = 1$, — это две параллельные горизонтальные прямые: $y = 1$ и $y = -1$.

Ответ: Две параллельные прямые, заданные уравнениями $y = 1$ и $y = -1$.

в) $|y| \le 2$

Неравенство с модулем $|y| \le 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \le y \le 2$.

Это условие означает, что ордината $y$ любой точки из искомого множества должна находиться в промежутке от -2 до 2 включительно, в то время как абсцисса $x$ может принимать любое действительное значение.

Границами этой области являются горизонтальные прямые $y = -2$ и $y = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сами прямые также включаются в множество решений.

Геометрически это представляет собой бесконечную горизонтальную полосу, заключенную между этими двумя прямыми.

Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y = -2$ и $y = 2$, включая сами прямые.

г) $|x| \ge 5$

Неравенство с модулем $|x| \ge 5$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 5$ или $x \le -5$.

Неравенство $x \ge 5$ задает на координатной плоскости все точки, которые лежат на вертикальной прямой $x=5$ или правее нее. Это правая замкнутая полуплоскость.

Неравенство $x \le -5$ задает все точки, которые лежат на вертикальной прямой $x=-5$ или левее нее. Это левая замкнутая полуплоскость.

Искомое множество является объединением этих двух полуплоскостей.

Ответ: Объединение двух замкнутых полуплоскостей: множество точек, для которых $x \ge 5$, и множество точек, для которых $x \le -5$.

д) $|x| \le 3$ и $|y| \le 3$

Данное условие представляет собой систему из двух неравенств:
1. $|x| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le x \le 3$. Это множество точек, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x = -3$ и $x = 3$ (включая границы).
2. $|y| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le y \le 3$. Это множество точек, расположенных в горизонтальной полосе между прямыми $y = -3$ и $y = 3$ (включая границы).

Союз "и" означает, что мы ищем пересечение этих двух множеств, то есть точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.

Пересечением вертикальной и горизонтальной полос является квадрат, ограниченный прямыми $x = -3, x = 3, y = -3, y = 3$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(-3, -3)$, $(3, -3)$, $(3, 3)$ и $(-3, 3)$. Поскольку неравенства нестрогие, область включает в себя как внутреннюю часть квадрата, так и его стороны.

Ответ: Замкнутый квадрат с вершинами в точках $(-3, -3)$, $(3, -3)$, $(3, 3)$ и $(-3, 3)$.

е) $|x| \ge 3$ и $|y| \ge 3$

Это условие также является системой двух неравенств:
1. $|x| \ge 3$, что эквивалентно $x \ge 3$ или $x \le -3$. Это область вне открытой вертикальной полосы $(-3, 3)$.
2. $|y| \ge 3$, что эквивалентно $y \ge 3$ или $y \le -3$. Это область вне открытой горизонтальной полосы $(-3, 3)$.

Союз "и" требует одновременного выполнения обоих условий. Точка $(x,y)$ должна удовлетворять одному из условий для $x$ и одному из условий для $y$. Это приводит к четырем возможным комбинациям, которые определяют четыре области на плоскости:

• $x \ge 3$ и $y \ge 3$ (бесконечная область в первом координатном углу)
• $x \le -3$ и $y \ge 3$ (бесконечная область во втором координатном углу)
• $x \le -3$ и $y \le -3$ (бесконечная область в третьем координатном углу)
• $x \ge 3$ и $y \le -3$ (бесконечная область в четвертом координатном углу)

Эти четыре области вместе образуют всю координатную плоскость за исключением открытого "креста", образованного полосами $|x| < 3$ и $|y| < 3$. Границы областей ($x = \pm 3, y = \pm 3$) включены в искомое множество.

Ответ: Объединение четырех замкнутых неограниченных областей (углов), заданных системами неравенств: ($x \ge 3, y \ge 3$), ($x \le -3, y \ge 3$), ($x \le -3, y \le -3$), ($x \ge 3, y \le -3$).