Номер 475, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. Множества точек на координатной плоскости. Глава 5. Координаты и графики - номер 475, страница 139.

475 Изобразите на координатной плоскости и опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы, заданной неравенством $2 \le y \le 5$.

Исходное множество точек — это горизонтальная полоса, заданная двойным неравенством $2 \le y \le 5$. Это все точки на координатной плоскости, ординаты которых находятся в промежутке от 2 до 5 включительно, а абсциссы могут быть любыми действительными числами. Графически это область между прямыми $y=2$ и $y=5$, включая сами прямые.

Для нахождения множества точек, симметричных данному относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо преобразовать координаты каждой точки исходного множества. При симметрии относительно оси абсцисс любая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x', y')$, координаты которой определяются по правилам:
$x' = x$ (абсцисса остается неизменной)
$y' = -y$ (ордината меняет свой знак на противоположный)

Наша задача — найти неравенство, описывающее множество новых точек, то есть найти условия для координат $y'$. Из правила преобразования $y' = -y$ выразим старую координату $y$ через новую $y'$:
$y = -y'$

Теперь подставим это выражение для $y$ в исходное неравенство $2 \le y \le 5$:
$2 \le -y' \le 5$

Чтобы найти диапазон значений для $y'$, умножим все части этого двойного неравенства на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 2 \ge -1 \cdot (-y') \ge -1 \cdot 5$
$-2 \ge y' \ge -5$

Для стандартной формы записи запишем полученное неравенство в порядке возрастания:
$-5 \le y' \le -2$

Это и есть алгебраическое описание искомого множества точек.

Теперь изобразим это множество на координатной плоскости. Неравенство $-5 \le y \le -2$ задает новую горизонтальную полосу. Эта полоса:

• расположена ниже оси абсцисс;
• ограничена снизу прямой $y=-5$;
• ограничена сверху прямой $y=-2$.

Поскольку неравенство нестрогое (содержит знаки $\le$), то сами граничные прямые $y=-5$ и $y=-2$ принадлежат искомому множеству. На графике их следует изобразить сплошными линиями, а область между ними заштриховать.

Ответ: Множество точек, симметричных относительно оси абсцисс точкам полосы $2 \le y \le 5$, описывается на алгебраическом языке неравенством $-5 \le y \le -2$. Графически это множество представляет собой горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=-5$ и $y=-2$, включая сами прямые.