Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

486 Из точек A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1), D(-1; -1), E(-2; 4), F(3; 27) выберите те, которые принадлежат:

a) параболе $y = x^2$;

б) кубической параболе $y = x^3$;

в) графику зависимости $y = |x|.$

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) параболе $y = x^2$

Проверим каждую точку, подставляя ее координаты в уравнение $y = x^2$:
Точка A(0; 0): $y = 0, x = 0$. Подставляем: $0 = 0^2 \implies 0 = 0$. Равенство верное, точка A принадлежит параболе.
Точка B(-1; 1): $y = 1, x = -1$. Подставляем: $1 = (-1)^2 \implies 1 = 1$. Равенство верное, точка B принадлежит параболе.
Точка C(1; 1): $y = 1, x = 1$. Подставляем: $1 = 1^2 \implies 1 = 1$. Равенство верное, точка C принадлежит параболе.
Точка D(-1; -1): $y = -1, x = -1$. Подставляем: $-1 = (-1)^2 \implies -1 = 1$. Равенство неверное, точка D не принадлежит параболе.
Точка E(-2; 4): $y = 4, x = -2$. Подставляем: $4 = (-2)^2 \implies 4 = 4$. Равенство верное, точка E принадлежит параболе.
Точка F(3; 27): $y = 27, x = 3$. Подставляем: $27 = 3^2 \implies 27 = 9$. Равенство неверное, точка F не принадлежит параболе.
Ответ: A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1), E(-2; 4).

б) кубической параболе $y = x^3$

Проверим каждую точку, подставляя ее координаты в уравнение $y = x^3$:
Точка A(0; 0): $y = 0, x = 0$. Подставляем: $0 = 0^3 \implies 0 = 0$. Равенство верное, точка A принадлежит кубической параболе.
Точка B(-1; 1): $y = 1, x = -1$. Подставляем: $1 = (-1)^3 \implies 1 = -1$. Равенство неверное, точка B не принадлежит кубической параболе.
Точка C(1; 1): $y = 1, x = 1$. Подставляем: $1 = 1^3 \implies 1 = 1$. Равенство верное, точка C принадлежит кубической параболе.
Точка D(-1; -1): $y = -1, x = -1$. Подставляем: $-1 = (-1)^3 \implies -1 = -1$. Равенство верное, точка D принадлежит кубической параболе.
Точка E(-2; 4): $y = 4, x = -2$. Подставляем: $4 = (-2)^3 \implies 4 = -8$. Равенство неверное, точка E не принадлежит кубической параболе.
Точка F(3; 27): $y = 27, x = 3$. Подставляем: $27 = 3^3 \implies 27 = 27$. Равенство верное, точка F принадлежит кубической параболе.
Ответ: A(0; 0), C(1; 1), D(-1; -1), F(3; 27).

в) графику зависимости $y = |x|$

Проверим каждую точку, подставляя ее координаты в уравнение $y = |x|$:
Точка A(0; 0): $y = 0, x = 0$. Подставляем: $0 = |0| \implies 0 = 0$. Равенство верное, точка A принадлежит графику.
Точка B(-1; 1): $y = 1, x = -1$. Подставляем: $1 = |-1| \implies 1 = 1$. Равенство верное, точка B принадлежит графику.
Точка C(1; 1): $y = 1, x = 1$. Подставляем: $1 = |1| \implies 1 = 1$. Равенство верное, точка C принадлежит графику.
Точка D(-1; -1): $y = -1, x = -1$. Подставляем: $-1 = |-1| \implies -1 = 1$. Равенство неверное, точка D не принадлежит графику.
Точка E(-2; 4): $y = 4, x = -2$. Подставляем: $4 = |-2| \implies 4 = 2$. Равенство неверное, точка E не принадлежит графику.
Точка F(3; 27): $y = 27, x = 3$. Подставляем: $27 = |3| \implies 27 = 3$. Равенство неверное, точка F не принадлежит графику.
Ответ: A(0; 0), B(-1; 1), C(1; 1).

487 Постройте по точкам график зависимости:

а) $y=-x^2$;

б) $y=-x^3$.

а) $y = -x^2$

Для построения графика функции $y = -x^2$ по точкам, необходимо составить таблицу значений. Эта функция является квадратичной, её график — парабола. В отличие от стандартной параболы $y=x^2$, ветви данной параболы будут направлены вниз из-за знака минус перед $x^2$.

Составим таблицу значений, выбрав несколько симметричных относительно нуля значений для $x$:

Теперь отметим полученные точки $(-3, -9)$, $(-2, -4)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -4)$, $(3, -9)$ на координатной плоскости.

Соединим эти точки плавной линией. Полученная кривая является параболой с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Осью симметрии графика является ось $Oy$.

Ответ: Графиком зависимости $y = -x^2$ является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

б) $y = -x^3$

Для построения графика функции $y = -x^3$ по точкам, составим таблицу значений. Эта функция является кубической, её график — кубическая парабола. График функции $y = -x^3$ симметричен графику $y = x^3$ относительно оси $Ox$ (или оси $Oy$).

Составим таблицу значений для этой функции:

Отметим полученные точки $(-2, 8)$, $(-1, 1)$, $(-0.5, 0.125)$, $(0, 0)$, $(0.5, -0.125)$, $(1, -1)$, $(2, -8)$ на координатной плоскости.

Соединим эти точки плавной линией. Полученная кривая является кубической параболой. График проходит через начало координат, располагается во II и IV координатных четвертях и симметричен относительно начала координат.

Ответ: Графиком зависимости $y = -x^3$ является кубическая парабола, расположенная во второй и четвертой координатных четвертях и симметричная относительно начала координат.

488 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y = x^2$, где:

а) $-3 \le x \le 3$;

б) $-2 \le x \le 1$;

в) $x \le 0$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y = x^2$, которая является параболой с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Затем для каждого случая нужно выделить ту часть графика, которая соответствует заданному ограничению на переменную $x$.

а) $-3 \le x \le 3$

Требуется изобразить множество точек параболы $y = x^2$, для которых абсцисса $x$ находится в замкнутом промежутке $[-3, 3]$.
Сначала найдем ординаты ($y$) для крайних значений $x$:
Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 = 9$. Получаем точку $(-3, 9)$.
Если $x = 3$, то $y = (3)^2 = 9$. Получаем точку $(3, 9)$.
Так как промежуток для $x$ включает в себя $0$, то вершина параболы $(0, 0)$ также является частью искомого множества точек.
Искомое множество точек представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, 9)$, опускается до вершины $(0, 0)$ и затем поднимается до точки $(3, 9)$. Обе конечные точки включены в множество.

Ответ: Графиком является часть параболы $y = x^2$, заключенная между точками $(-3, 9)$ и $(3, 9)$ включительно.

б) $-2 \le x \le 1$

Требуется изобразить множество точек параболы $y = x^2$, для которых абсцисса $x$ находится в замкнутом промежутке $[-2, 1]$.
Найдем ординаты ($y$) для крайних значений $x$:
Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.
Если $x = 1$, то $y = (1)^2 = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Вершина параболы $(0, 0)$ также принадлежит этому множеству, так как $x=0$ находится в промежутке $[-2, 1]$.
Искомое множество точек — это дуга параболы, которая начинается в точке $(-2, 4)$, опускается до вершины $(0, 0)$ и затем поднимается до точки $(1, 1)$. Обе конечные точки включены.

Ответ: Графиком является часть параболы $y = x^2$, заключенная между точками $(-2, 4)$ и $(1, 1)$ включительно.

в) $x \le 0$

Требуется изобразить множество точек параболы $y = x^2$, для которых абсцисса $x$ является неположительным числом, то есть $x \in (-\infty, 0]$.
Это условие соответствует левой ветви параболы.
Крайней правой точкой этого множества является вершина параболы $(0, 0)$, так как $x=0$ удовлетворяет условию $x \le 0$.
Когда $x$ принимает отрицательные значения и уменьшается (стремится к $-\infty$), значение $y = x^2$ увеличивается (стремится к $+\infty$).
Таким образом, искомое множество точек — это левая половина параболы, включая ее вершину.

Ответ: Графиком является левая ветвь параболы $y = x^2$, начинающаяся в вершине $(0, 0)$ и проходящая через все точки с неположительными абсциссами. Эта часть графика расположена во второй координатной четверти и в начале координат.

489 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y = x^3$, где:

а) $-1 \le x \le 1$;
б) $x \ge 0$;
в) $x \le 1$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y = x^3$ (кубическая парабола) с учетом заданных ограничений на переменную $x$.

а) $-1 \le x \le 1$

В этом случае требуется изобразить множество точек, удовлетворяющих уравнению $y=x^3$ при условии, что $x$ находится в замкнутом промежутке $[-1, 1]$. Мы должны построить часть графика функции $y=x^3$ на этом отрезке. Найдем значения функции на концах промежутка: при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$, что соответствует точке $(-1, -1)$; при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$, что соответствует точке $(1, 1)$. Поскольку неравенства нестрогие ($ \le $), конечные точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ принадлежат множеству и на графике отмечаются сплошными точками. График также проходит через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Множество точек представляет собой кривую (фрагмент кубической параболы), которая начинается в точке $(-1, -1)$, проходит через начало координат и заканчивается в точке $(1, 1)$.

б) $x \ge 0$

В данном случае требуется изобразить множество точек для уравнения $y=x^3$ при условии $x \ge 0$. Это значит, что мы строим график функции для всех неотрицательных значений $x$, то есть на луче $[0, +\infty)$. График начинается в точке, где $x=0$. При $x = 0$, $y = 0^3 = 0$, следовательно, начальная точка — это начало координат $(0, 0)$. Эта точка принадлежит множеству, так как неравенство нестрогое. При увеличении $x$, значение $y$ также растет (например, $(1, 1)$, $(2, 8)$), и график уходит в бесконечность в первой координатной четверти.

Ответ: Множество точек представляет собой кривую (правую ветвь кубической параболы), которая начинается в начале координат $(0, 0)$ и уходит в бесконечность вправо и вверх.

в) $x \le 1$

Здесь требуется изобразить множество точек для уравнения $y=x^3$ при условии $x \le 1$. Это соответствует значениям $x$ на луче $(-\infty, 1]$. График имеет конечную точку при $x=1$. В этой точке $y = 1^3 = 1$, что дает точку $(1, 1)$. Она принадлежит множеству, так как неравенство нестрогое. Для всех $x < 1$ график существует. Он проходит через начало координат $(0, 0)$, точку $(-1, -1)$ и уходит в минус бесконечность в третьей координатной четверти, когда $x \to -\infty$.

Ответ: Множество точек представляет собой кривую (левую ветвь кубической параболы и ее фрагмент до $x=1$), которая идет из минус бесконечности в третьей четверти, проходит через начало координат и заканчивается в точке $(1, 1)$.

490 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y=|x|$, где:

а) $x \le 3$;

б) $x \ge -4$;

в) $-2 \le x \le 2$.

Для решения задачи необходимо сначала представить график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. По определению модуля:

• $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла).

График представляет собой фигуру в виде буквы "V" ("галочку") с вершиной в точке $(0, 0)$. Теперь рассмотрим каждый случай с заданными ограничениями на переменную $x$.

а) $x \le 3$

Требуется изобразить ту часть графика функции $y = |x|$, для которой абсцисса $x$ не превышает 3. Эта область включает в себя все точки графика, находящиеся слева от вертикальной прямой $x=3$ или на ней самой.

Разобьем решение на два промежутка в соответствии с определением модуля:

1. Для $x \in (-\infty, 0)$, функция имеет вид $y = -x$. Весь этот промежуток удовлетворяет условию $x \le 3$. Следовательно, эта часть графика является лучом, выходящим из точки $(0, 0)$ и проходящим через точки $(-1, 1)$, $(-2, 2)$ и так далее, уходя влево и вверх.
2. Для $x \in [0, +\infty)$, функция имеет вид $y = x$. С учетом ограничения $x \le 3$, мы рассматриваем эту функцию на отрезке $[0, 3]$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(3, 3)$. Точка $(3, 3)$ включается в график, так как неравенство нестрогое ($x \le 3$).

Таким образом, искомое множество точек — это объединение луча $y = -x$ для $x \le 0$ и отрезка $y = x$ для $0 \le x \le 3$.

Ответ: График состоит из двух частей: луча, выходящего из точки $(0, 0)$ и проходящего через точку $(-1, 1)$, и отрезка, соединяющего точки $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

б) $x \ge -4$

В этом случае мы изображаем часть графика функции $y = |x|$, для которой абсцисса $x$ больше или равна -4. Эта область включает все точки графика, находящиеся справа от вертикальной прямой $x=-4$ или на ней самой.

Рассмотрим два промежутка:

1. Для $x \in [0, +\infty)$, функция имеет вид $y = x$. Весь этот промежуток удовлетворяет условию $x \ge -4$. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точки $(1, 1)$, $(2, 2)$ и так далее, уходя вправо и вверх.
2. Для $x \in (-\infty, 0)$, функция имеет вид $y = -x$. С учетом ограничения $x \ge -4$, мы рассматриваем эту функцию на отрезке $[-4, 0)$. Графиком является отрезок прямой $y=-x$, соединяющий точки $(-4, |-4|) = (-4, 4)$ и $(0, 0)$. Точка $(-4, 4)$ включается в график, так как неравенство $x \ge -4$ нестрогое.

Искомое множество точек — это объединение отрезка $y = -x$ для $-4 \le x \le 0$ и луча $y = x$ для $x \ge 0$.

Ответ: График состоит из двух частей: отрезка, соединяющего точки $(-4, 4)$ и $(0, 0)$, и луча, выходящего из точки $(0, 0)$ и проходящего через точку $(1, 1)$.

в) $-2 \le x \le 2$

Здесь нам нужно изобразить часть графика функции $y = |x|$, для которой абсцисса $x$ находится в пределах от -2 до 2, включая граничные значения.

Рассмотрим два отрезка:

1. На отрезке $[-2, 0]$, функция имеет вид $y = -x$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, |-2|) = (-2, 2)$ и $(0, 0)$.
2. На отрезке $[0, 2]$, функция имеет вид $y = x$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, |2|) = (2, 2)$.

Искомое множество точек — это объединение двух отрезков: одного от $(-2, 2)$ до $(0, 0)$ и другого от $(0, 0)$ до $(2, 2)$. Вместе они образуют "галочку" с вершиной в начале координат и концами в точках $(-2, 2)$ и $(2, 2)$.

Ответ: График представляет собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков: один соединяет точку $(-2, 2)$ с точкой $(0, 0)$, а второй соединяет точку $(0, 0)$ с точкой $(2, 2)$.

491 Известно, что $y = x^2 + 2x$. Составьте таблицу соответственных значений $x$ и $y$ и постройте по точкам график этой зависимости. Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Для решения задачи, заданной функцией $y = x^2 + 2x$, выполним последовательно все требуемые действия.

Составьте таблицу соответственных значений x и y

Чтобы составить таблицу, сначала определим ключевую точку графика — вершину параболы, так как данная функция является квадратичной. Уравнение имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$ и $b=2$. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Соответствующая координата $y$ вершины:

$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Теперь составим таблицу, выбрав значения $x$ симметрично относительно вершины, чтобы получить наглядное представление о форме графика.

и постройте по точкам график этой зависимости.

Для построения графика на координатной плоскости $Oxy$ отметим точки из таблицы: $(-4, 8)$, $(-3, 3)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$ и $(2, 8)$. Затем соединим эти точки плавной кривой. Эта кривая будет симметрична относительно вертикальной прямой $x = -1$ (оси симметрии параболы), что помогает в построении.

Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Полученная в результате построения линия является параболой. Это следует из того, что исходная зависимость $y = x^2 + 2x$ — это квадратичная функция, графиком которой всегда является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Это также можно подтвердить, преобразовав уравнение к каноническому виду $y=a(x-h)^2+k$ путем выделения полного квадрата:

$y = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$

Эта форма наглядно показывает, что график является стандартной параболой $y=x^2$, сдвинутой на 1 единицу влево по оси абсцисс и на 1 единицу вниз по оси ординат, с вершиной в точке $(-1, -1)$.

Ответ: Построенная по точкам линия является параболой.

492 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 0 \\ 0 & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек $(-1; 0)$, $(0,5; 0,5)$, $(1; 0)$, $(2; 2)$, $(-3; -3)$ принадлежат этому множеству?

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Множество точек на плоскости задано кусочной функцией: $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 0 \\ 0 & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика этой функции, рассмотрим его на двух промежутках:

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y=x$. Графиком этой части является луч, который является биссектрисой первого координатного угла. Луч выходит из начала координат (точка $(0; 0)$ принадлежит этой части графика).
2. При $x < 0$ функция имеет вид $y=0$. Графиком этой части является луч, который совпадает с отрицательной частью оси абсцисс (Ox). Начало координат не входит в эту часть луча.

Объединив эти два луча, мы получим искомое множество точек. График представляет собой ломаную линию, состоящую из отрицательной полуоси Ox, которая в точке $(0;0)$ переходит в луч $y=x$.

Ответ: График состоит из луча, совпадающего с отрицательной полуосью абсцисс, и луча $y=x$, расположенного в первой координатной четверти. Оба луча выходят из начала координат.

Какие из точек (–1; 0), (0,5; 0,5), (1; 0), (2; 2), (–3; –3) принадлежат этому множеству?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ заданному множеству, нужно подставить значение $x_0$ в соответствующее условие функции и проверить, совпадает ли вычисленное значение $y$ с $y_0$.

• Точка (–1; 0): Абсцисса $x = -1$. Так как $-1 < 0$, мы используем второе условие функции: $y=0$. Ордината точки равна 0, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.
• Точка (0,5; 0,5): Абсцисса $x = 0,5$. Так как $0,5 \ge 0$, мы используем первое условие функции: $y=x$. При $x=0,5$ получаем $y=0,5$. Ордината точки равна 0,5, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.
• Точка (1; 0): Абсцисса $x = 1$. Так как $1 \ge 0$, мы используем первое условие функции: $y=x$. При $x=1$ должно быть $y=1$. Однако ордината данной точки равна 0. Поскольку $0 \ne 1$, точка не принадлежит множеству.
• Точка (2; 2): Абсцисса $x = 2$. Так как $2 \ge 0$, мы используем первое условие функции: $y=x$. При $x=2$ получаем $y=2$. Ордината точки равна 2, что совпадает с вычисленным значением. Следовательно, точка принадлежит множеству.
• Точка (–3; –3): Абсцисса $x = -3$. Так как $-3 < 0$, мы используем второе условие функции: $y=0$. Однако ордината данной точки равна -3. Поскольку $-3 \ne 0$, точка не принадлежит множеству.

Ответ: Множеству принадлежат точки (–1; 0), (0,5; 0,5) и (2; 2).

493 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1 \\ 1 & \text{при } x > 1 \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек (0; 0), $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, (2; 4), (-2; 4), (3; 1) принадлежат этому множеству?

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Данное множество точек является графиком кусочно-заданной функции: $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1 \\ 1 & \text{при } x > 1 \end{cases}$.

Для построения графика его нужно рассмотреть на двух промежутках.

1. На промежутке $x \in (-\infty, 1]$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$. Это ветвь параболы с вершиной в точке $(0; 0)$, направленная вверх. Она проходит через точки, например, $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и заканчивается в точке $(1; 1)$. Эта точка принадлежит графику, так как условие $x \le 1$ нестрогое.

2. На промежутке $x \in (1, +\infty)$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 1$. Это горизонтальный луч, который начинается от точки $(1; 1)$ (не включая саму точку) и идет вправо параллельно оси абсцисс.

Объединяя эти две части, мы получаем непрерывный график. В точке $(1; 1)$ левая часть (парабола) и правая часть (луч) соединяются, образуя единую линию. Точка $(1; 1)$, принадлежащая параболе, "заполняет" начальную точку луча.

Ответ: График состоит из части параболы $y=x^2$ на интервале $(-\infty, 1]$ и горизонтального луча $y=1$ на интервале $(1, +\infty)$, которые соединяются в точке $(1; 1)$.

Какие из точек (0; 0), ($\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$), (2; 4), (-2; 4), (3; 1) принадлежат этому множеству?

Для проверки принадлежности точки $(x_0, y_0)$ множеству необходимо подставить ее координаты в заданные условия.

Рассмотрим точку $(0; 0)$. Её абсцисса $x = 0$. Так как $0 \le 1$, используем первую формулу: $y = x^2$. Подставляем $x=0$ и получаем $y = 0^2 = 0$. Ордината точки совпадает с вычисленной ($0=0$). Следовательно, точка принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$. Её абсцисса $x = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \le 1$, используем первую формулу: $y = x^2$. Подставляем $x=\frac{1}{2}$ и получаем $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Ордината точки совпадает с вычисленной ($\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$). Следовательно, точка принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(2; 4)$. Её абсцисса $x = 2$. Так как $2 > 1$, используем вторую формулу: $y = 1$. Согласно формуле, ордината должна быть равна 1. В данной точке ордината равна 4. Так как $4 \ne 1$, точка не принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(-2; 4)$. Её абсцисса $x = -2$. Так как $-2 \le 1$, используем первую формулу: $y = x^2$. Подставляем $x=-2$ и получаем $y = (-2)^2 = 4$. Ордината точки совпадает с вычисленной ($4=4$). Следовательно, точка принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(3; 1)$. Её абсцисса $x = 3$. Так как $3 > 1$, используем вторую формулу: $y = 1$. Согласно формуле, ордината должна быть равна 1. В данной точке ордината равна 1. Так как $1 = 1$, точка принадлежит множеству.

Ответ: Множеству принадлежат точки $(0; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, $(-2; 4)$ и $(3; 1)$.

494 Постройте график зависимости, если известно, что:

а) $y = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 0 \\ -x \text{ при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x \text{ при } x \ge 0 \\ x^3 \text{ при } x < 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 3 \text{ при } x \ge 3 \\ x \text{ при } -3 < x < 3 \\ -3 \text{ при } x \le -3 \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} 3 \text{ при } x \ge 3 \\ |x| \text{ при } -3 < x < 3 \\ 3 \text{ при } x \le -3 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 0 \text{ при } x \ge 0 \\ -x \text{ при } -2 < x < 0 \\ 2 \text{ при } x \le -2 \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} 4 \text{ при } x \le -2 \\ x^2 \text{ при } -2 < x < 2 \\ 4 \text{ при } x \ge 2 \end{cases}$

а) Для построения графика заданной кусочно-линейной функции $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат. Нам нужна только её правая часть (включая вершину). Построим ее по точкам:
при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$;
при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$;
при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.
Получаем ветвь параболы, выходящую из точки $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой II координатного угла. Построим ее по точкам:
при $x = -1$, $y = -(-1) = 1$;
при $x = -2$, $y = -(-2) = 2$.
Получаем луч, выходящий из точки $(0, 0)$ (сама точка выколота, так как $x < 0$) и проходящий через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 2)$.

3. Совмещаем оба графика на одной координатной плоскости. Точка $(0, 0)$ является общей для обеих частей. В первой части она включена, во второй — выколота, поэтому на итоговом графике точка $(0, 0)$ является частью графика, и разрыва нет.
Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке $(0, 0)$. Слева от оси $Oy$ (при $x < 0$) это луч $y=-x$. Справа от оси $Oy$ (при $x \ge 0$) это ветвь параболы $y=x^2$.

б) Для построения графика функции $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0 \\ x^3 & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это прямая, биссектриса IV координатного угла. Нам нужен луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ (точка включена) и проходящий, например, через точку $(2, -2)$.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = x^3$. Это левая часть кубической параболы. Построим ее по точкам:
при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$;
при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$.
В точке $x=0$ предел равен $0^3=0$, поэтому ветвь стремится к точке $(0, 0)$, но сама точка выколота.

3. Совмещаем графики. Точка $(0, 0)$ включена в первую часть, поэтому разрыва в начале координат нет.
Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в точке $(0, 0)$. При $x \ge 0$ это луч $y=-x$, лежащий в IV квадранте. При $x < 0$ это левая ветвь кубической параболы $y=x^3$, лежащая в III квадранте.

в) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ x & \text{при } -3 < x < 3 \\ -3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \ge 3$ функция постоянна: $y = 3$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(3, 3)$ и идущий вправо. Точка $(3, 3)$ включена.

2. При $-3 < x < 3$ функция имеет вид $y = x$. Это отрезок прямой (биссектрисы I и III квадрантов), соединяющий точки $(-3, -3)$ и $(3, 3)$. Обе конечные точки выколоты.

3. При $x \le -3$ функция постоянна: $y = -3$. Это горизонтальный луч, идущий влево от точки $(-3, -3)$. Точка $(-3, -3)$ включена.

4. Объединяем все три части. Выколотая точка $(3, 3)$ из средней части "заполняется" сплошной точкой из первой части. Аналогично, выколотая точка $(-3, -3)$ "заполняется" сплошной точкой из третьей части. В результате получается непрерывная линия.
Ответ: График представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: горизонтального луча $y=-3$ при $x \le -3$, отрезка прямой $y=x$ от точки $(-3, -3)$ до $(3, 3)$, и горизонтального луча $y=3$ при $x \ge 3$.

г) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } -2 < x < 0 \\ 2 & \text{при } x \le -2 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \ge 0$ функция постоянна: $y = 0$. Это луч, совпадающий с положительной полуосью $Ox$. Начальная точка $(0, 0)$ включена.

2. При $-2 < x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Обе конечные точки выколоты.

3. При $x \le -2$ функция постоянна: $y = 2$. Это горизонтальный луч, идущий влево от точки $(-2, 2)$. Точка $(-2, 2)$ включена.

4. Объединяем части. Выколотая точка $(0, 0)$ "заполняется" точкой из первой части, а выколотая точка $(-2, 2)$ - точкой из третьей части. График является непрерывной линией.
Ответ: График - непрерывная линия, состоящая из горизонтального луча $y=2$ при $x \le -2$, отрезка прямой $y=-x$ между точками $(-2, 2)$ и $(0, 0)$, и луча $y=0$ (положительная полуось $Ox$) при $x \ge 0$.

д) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3 \\ 3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \ge 3$ и $x \le -3$ функция постоянна: $y = 3$. Это два горизонтальных луча: один начинается в точке $(3, 3)$ и идет вправо, другой заканчивается в точке $(-3, 3)$ и идет влево. Точки $(3, 3)$ и $(-3, 3)$ включены.

2. При $-3 < x < 3$ функция имеет вид $y = |x|$. График модуля — это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$. Он состоит из двух отрезков: $y=-x$ на интервале $(-3, 0)$ и $y=x$ на интервале $[0, 3)$. Концевые точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ выколоты.

3. Объединяем графики. Выколотые точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ из средней части "заполняются" точками из крайних частей. График является непрерывной линией.
Ответ: График представляет собой непрерывную линию, похожую на букву W. Он состоит из горизонтального луча $y=3$ при $x \le -3$, графика модуля $y=|x|$ на интервале от -3 до 3, и горизонтального луча $y=3$ при $x \ge 3$.

е) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2 \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2 \\ 4 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \le -2$ и $x \ge 2$ функция постоянна: $y = 4$. Это два горизонтальных луча. Один начинается в точке $(2, 4)$ и идет вправо. Другой заканчивается в точке $(-2, 4)$ и идет влево. Точки $(2, 4)$ и $(-2, 4)$ включены.

2. При $-2 < x < 2$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в $(0, 0)$, ограниченная абсциссами -2 и 2. Поскольку неравенства строгие, точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ на параболе выколоты.

3. Объединяем графики. Выколотые точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ из средней части "заполняются" точками из крайних частей. График непрерывен.
Ответ: График представляет собой непрерывную линию, состоящую из части параболы $y=x^2$ на интервале $(-2, 2)$, которая в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ плавно переходит в горизонтальные лучи $y=4$.