Номер 490, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 490, страница 146.

490 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y=|x|$, где:

а) $x \le 3$;

б) $x \ge -4$;

в) $-2 \le x \le 2$.

Для решения задачи необходимо сначала представить график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. По определению модуля:

• $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса второго координатного угла).

График представляет собой фигуру в виде буквы "V" ("галочку") с вершиной в точке $(0, 0)$. Теперь рассмотрим каждый случай с заданными ограничениями на переменную $x$.

а) $x \le 3$

Требуется изобразить ту часть графика функции $y = |x|$, для которой абсцисса $x$ не превышает 3. Эта область включает в себя все точки графика, находящиеся слева от вертикальной прямой $x=3$ или на ней самой.

Разобьем решение на два промежутка в соответствии с определением модуля:

1. Для $x \in (-\infty, 0)$, функция имеет вид $y = -x$. Весь этот промежуток удовлетворяет условию $x \le 3$. Следовательно, эта часть графика является лучом, выходящим из точки $(0, 0)$ и проходящим через точки $(-1, 1)$, $(-2, 2)$ и так далее, уходя влево и вверх.
2. Для $x \in [0, +\infty)$, функция имеет вид $y = x$. С учетом ограничения $x \le 3$, мы рассматриваем эту функцию на отрезке $[0, 3]$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(3, 3)$. Точка $(3, 3)$ включается в график, так как неравенство нестрогое ($x \le 3$).

Таким образом, искомое множество точек — это объединение луча $y = -x$ для $x \le 0$ и отрезка $y = x$ для $0 \le x \le 3$.

Ответ: График состоит из двух частей: луча, выходящего из точки $(0, 0)$ и проходящего через точку $(-1, 1)$, и отрезка, соединяющего точки $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

б) $x \ge -4$

В этом случае мы изображаем часть графика функции $y = |x|$, для которой абсцисса $x$ больше или равна -4. Эта область включает все точки графика, находящиеся справа от вертикальной прямой $x=-4$ или на ней самой.

Рассмотрим два промежутка:

1. Для $x \in [0, +\infty)$, функция имеет вид $y = x$. Весь этот промежуток удовлетворяет условию $x \ge -4$. Графиком является луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точки $(1, 1)$, $(2, 2)$ и так далее, уходя вправо и вверх.
2. Для $x \in (-\infty, 0)$, функция имеет вид $y = -x$. С учетом ограничения $x \ge -4$, мы рассматриваем эту функцию на отрезке $[-4, 0)$. Графиком является отрезок прямой $y=-x$, соединяющий точки $(-4, |-4|) = (-4, 4)$ и $(0, 0)$. Точка $(-4, 4)$ включается в график, так как неравенство $x \ge -4$ нестрогое.

Искомое множество точек — это объединение отрезка $y = -x$ для $-4 \le x \le 0$ и луча $y = x$ для $x \ge 0$.

Ответ: График состоит из двух частей: отрезка, соединяющего точки $(-4, 4)$ и $(0, 0)$, и луча, выходящего из точки $(0, 0)$ и проходящего через точку $(1, 1)$.

в) $-2 \le x \le 2$

Здесь нам нужно изобразить часть графика функции $y = |x|$, для которой абсцисса $x$ находится в пределах от -2 до 2, включая граничные значения.

Рассмотрим два отрезка:

1. На отрезке $[-2, 0]$, функция имеет вид $y = -x$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, |-2|) = (-2, 2)$ и $(0, 0)$.
2. На отрезке $[0, 2]$, функция имеет вид $y = x$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, |2|) = (2, 2)$.

Искомое множество точек — это объединение двух отрезков: одного от $(-2, 2)$ до $(0, 0)$ и другого от $(0, 0)$ до $(2, 2)$. Вместе они образуют "галочку" с вершиной в начале координат и концами в точках $(-2, 2)$ и $(2, 2)$.

Ответ: График представляет собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков: один соединяет точку $(-2, 2)$ с точкой $(0, 0)$, а второй соединяет точку $(0, 0)$ с точкой $(2, 2)$.