Номер 497, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 497, страница 147.

497 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

a) $y=x^2$ и $1 \le y \le 9$;

б) $y=x^3$ и $-8 \le y \le 1$;

в) $y=|x|$ и $y \le 3$;

г) $y=|x|$ и $y \ge 1$.

а) Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе условий $y = x^2$ и $1 \le y \le 9$.

Графиком функции $y = x^2$ является парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $1 \le y \le 9$ задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y=1$ и $y=9$. Нам нужно найти часть параболы, которая находится в этой полосе.

Найдем абсциссы ($x$) крайних точек, подставив граничные значения $y$ в уравнение параболы:

• При $y = 1$, получаем $x^2 = 1$, что дает $x = -1$ и $x = 1$. Это точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
• При $y = 9$, получаем $x^2 = 9$, что дает $x = -3$ и $x = 3$. Это точки $(-3, 9)$ и $(3, 9)$.

Таким образом, искомое множество — это две симметричные относительно оси $Oy$ дуги параболы $y = x^2$. Первая дуга соединяет точки $(-3, 9)$ и $(-1, 1)$, вторая — точки $(1, 1)$ и $(3, 9)$.

Ответ: две дуги параболы $y = x^2$, одна из которых соединяет точки $(-3, 9)$ и $(-1, 1)$, а другая — точки $(1, 1)$ и $(3, 9).

б) Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе условий $y = x^3$ и $-8 \le y \le 1$.

Графиком функции $y = x^3$ является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Условие $-8 \le y \le 1$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y=-8$ и $y=1$. Искомое множество — это часть графика функции, лежащая в этой полосе.

Найдем абсциссы ($x$) крайних точек:

• При $y = -8$, получаем $x^3 = -8$, откуда $x = -2$. Это точка $(-2, -8)$.
• При $y = 1$, получаем $x^3 = 1$, откуда $x = 1$. Это точка $(1, 1)$.

Следовательно, искомое множество точек — это непрерывная часть (дуга) кубической параболы $y = x^3$ от точки $(-2, -8)$ до точки $(1, 1)$.

Ответ: дуга кубической параболы $y = x^3$ от точки $(-2, -8)$ до точки $(1, 1).

в) Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе условий $y = |x|$ и $y \le 3$.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Условие $y \le 3$ означает, что мы рассматриваем часть этого графика, которая лежит не выше прямой $y=3$. Так как по определению модуля $y = |x| \ge 0$, то полное условие для $y$ будет $0 \le y \le 3$.

Найдем абсциссы ($x$) крайних точек на прямой $y=3$:

• При $y = 3$, получаем $|x| = 3$, что дает $x = -3$ и $x = 3$. Это точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.

Искомое множество точек — это часть графика $y=|x|$, заключенная между вершиной в точке $(0,0)$ и точками $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.

Ответ: два отрезка, один соединяет точку $(0, 0)$ с точкой $(-3, 3)$, а второй — точку $(0, 0)$ с точкой $(3, 3)$.

г) Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе условий $y = |x|$ и $y \ge 1$.

График функции $y = |x|$ — это два луча, выходящие из начала координат. Условие $y \ge 1$ означает, что мы рассматриваем часть этого графика, которая лежит не ниже прямой $y=1$.

Найдем абсциссы ($x$) начальных точек на прямой $y=1$:

• При $y = 1$, получаем $|x| = 1$, что дает $x = -1$ и $x = 1$. Это точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Искомое множество состоит из двух лучей. Один луч начинается в точке $(-1, 1)$ и идет влево и вверх (часть прямой $y=-x$ при $x \le -1$). Второй луч начинается в точке $(1, 1)$ и идет вправо и вверх (часть прямой $y=x$ при $x \ge 1$).

Ответ: два луча, являющиеся частями графика $y=|x|$: один начинается в точке $(-1, 1)$ и идет вверх-влево, другой начинается в точке $(1, 1)$ и идет вверх-вправо.