Номер 495, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 495, страница 147.

495 В одной системе координат постройте параболу $y = x^2$ и прямую $y = -x$. Найдите координаты точек пересечения этих графиков. При каких значениях $x$ парабола лежит выше прямой? ниже прямой?

В одной системе координат постройте параболу $y = x^2$ и прямую $y = -x$.

Для построения графиков функций найдем координаты нескольких точек для каждой из них.
1. Парабола $y = x^2$:
- при $x=0$, $y=0^2=0$, точка $(0, 0)$;
- при $x=1$, $y=1^2=1$, точка $(1, 1)$;
- при $x=-1$, $y=(-1)^2=1$, точка $(-1, 1)$;
- при $x=2$, $y=2^2=4$, точка $(2, 4)$;
- при $x=-2$, $y=(-2)^2=4$, точка $(-2, 4)$.
График — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
2. Прямая $y = -x$:
- при $x=0$, $y=-0=0$, точка $(0, 0)$;
- при $x=-1$, $y=-(-1)=1$, точка $(-1, 1)$;
- при $x=2$, $y=-2$, точка $(2, -2)$.
График — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их соответствующими линиями (плавной кривой для параболы и прямой линией для прямой), мы получим требуемые графики.

Найдите координаты точек пересечения этих графиков.

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$x^2 = -x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда находим абсциссы (координаты $x$) точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$), подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений (например, в $y = -x$):
- при $x_1 = 0$, $y_1 = -0 = 0$.
- при $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1) = 1$.
Таким образом, графики пересекаются в точках с координатами $(0, 0)$ и $(-1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$ и $(-1, 1)$.

При каких значениях $x$ парабола лежит выше прямой?

Парабола $y = x^2$ лежит выше прямой $y = -x$, если для тех же значений $x$ выполняется неравенство $x^2 > -x$.
$x^2 + x > 0$
$x(x + 1) > 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x+1)=0$ равны $x=-1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$.
Знак выражения $x(x+1)$ положителен на крайних интервалах, то есть когда $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Ответ: при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

ниже прямой?

Парабола $y = x^2$ лежит ниже прямой $y = -x$, если для тех же значений $x$ выполняется неравенство $x^2 < -x$.
$x^2 + x < 0$
$x(x + 1) < 0$
Используя метод интервалов из предыдущего пункта, находим, что это неравенство выполняется на интервале между корнями $-1$ и $0$.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1, 0)$.
Ответ: при $x \in (-1, 0)$.